eindeutige LSG von DGL 2. Ordn < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Fr 19.04.2013 | | Autor: | quiddi |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die DGL eindeutig lösbar ist auf [mm]t\in [ 0,1][/mm]:
[mm]x''(t)=2\cdot t\cdot x(t)-t^2\cdot x'(t)[/mm] |
Wollte mal fragen ob meine Ideen hier richtig sind:
Ich habe gedacht, dafür braucht man Picard-Lindelöf, da dieser nur für DGL's 1. Ordnung gilt habe ich die DGL in ein DGL-System umgeschrieben, also:
[mm]y_1=x[/mm]
[mm]y_2=x'=y_1'[/mm]
Somit habe ich dann folgendes System:
[mm]\begin{pmatrix}
y_1'\\ y_2'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
2t & -t^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2
\end{pmatrix}:=A\vec y[/mm]
PL(global) sagt ja jetzt, dass die Lösung eindeutig ist wenn:
[mm]\|f(t,y_a)-f(t,y_b)\|\le L\|y_a-y_b\|[/mm]
Da die Norm von [mm]\|y_a-y_b\|[/mm] nie negativ ist und unter der Annahme, dass sie nie 0 ist, darf ich dann schreiben:
[mm]\frac{\|f(t,y_a)-f(t,y_b)\|}{\|y_a-y_b\|}\le L[/mm]
Im Grenzwert [mm]lim_{a\rightarrow b}[/mm] würde ich dann schreiben:
[mm]\dot \vec y\le L[/mm]
Somit würde ich dann schreiben:
[mm]\|\dot \vec y\|=\|A\vec y\| \le \|A\|\cdot \|y\|[/mm]
Da [mm]\|A\|[/mm] für das Intervall [mm][0,1][/mm] beschränkt ist, muss zwangsmäßig auch [mm]\vec y[/mm] beschränkt sein, somit sollte sich immer eine Konstante L finden lassen, sodass gilt:
[mm]\|\dot \vec y\|\le L[/mm]
Womit die Lösung eindeutig wäre, solange ich Anfangsbedingungen für mein Problem gegeben habe, die ich laut Aufgabenstellung ja aber nicht gegeben habe.
Ich danke für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo quiddi,
> Zeigen Sie, dass die DGL eindeutig lösbar ist auf [mm]t\in [ 0,1][/mm]:
>
> [mm]x''(t)=2\cdot t\cdot x(t)-t^2\cdot x'(t)[/mm]
> Wollte mal fragen
> ob meine Ideen hier richtig sind:
>
> Ich habe gedacht, dafür braucht man Picard-Lindelöf, da
> dieser nur für DGL's 1. Ordnung gilt habe ich die DGL in
> ein DGL-System umgeschrieben, also:
>
> [mm]y_1=x[/mm]
> [mm]y_2=x'=y_1'[/mm]
>
> Somit habe ich dann folgendes System:
> [mm]\begin{pmatrix}
y_1'\\ y_2'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
2t & -t^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2
\end{pmatrix}:=A\vec y[/mm]
>
> PL(global) sagt ja jetzt, dass die Lösung eindeutig ist
> wenn:
> [mm]\|f(t,y_a)-f(t,y_b)\|\le L\|y_a-y_b\|[/mm]
> Da die Norm von
> [mm]\|y_a-y_b\|[/mm] nie negativ ist und unter der Annahme, dass sie
> nie 0 ist, darf ich dann schreiben:
> [mm]\frac{\|f(t,y_a)-f(t,y_b)\|}{\|y_a-y_b\|}\le L[/mm]
> Im
> Grenzwert [mm]lim_{a\rightarrow b}[/mm] würde ich dann schreiben:
> [mm]\dot \vec y\le L[/mm]
>
> Somit würde ich dann schreiben:
> [mm]\|\dot \vec y\|=\|A\vec y\| \le \|A\|\cdot \|y\|[/mm]
>
> Da [mm]\|A\|[/mm] für das Intervall [mm][0,1][/mm] beschränkt ist, muss
> zwangsmäßig auch [mm]\vec y[/mm] beschränkt sein, somit sollte
> sich immer eine Konstante L finden lassen, sodass gilt:
> [mm]\|\dot \vec y\|\le L[/mm]
>
> Womit die Lösung eindeutig wäre, solange ich
> Anfangsbedingungen für mein Problem gegeben habe, die ich
> laut Aufgabenstellung ja aber nicht gegeben habe.
>
Es gibt auch die ![[]](/images/popup.gif) globale Version des Satzes von Picard-Lindelöf.
> Ich danke für eure Hilfe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Fr 19.04.2013 | | Autor: | quiddi |
Grüß dich MathePower, ich denke, dass du die lokale Version von PL meinst, zumal dein Link auch dahin verweißt.
Diese Funktion [mm]\|f(x,y)\|[/mm] wie sie in wiki definiert ist, entspricht doch bei mir [mm]A\vec y[/mm] und diese Funktion ist stetig in der 1. Variablen (t) und in der 2. Variablen (y). Somit sollte sich für mein gegebenes Intervall [mm]t\in [0,1][/mm] immer ein solches Maximum, wie in wiki definiert finden lassen. Muss ich hier noch was zeigen, das sieht ja, dass die Norm von [mm]\|A\vec y\|[/mm] für t und y stetig ist. Oder denke ich hier falsch?
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Hallo quiddi,
> Grüß dich MathePower, ich denke, dass du die lokale
> Version von PL meinst, zumal dein Link auch dahin
> verweißt.
>
> Diese Funktion [mm]\|f(x,y)\|[/mm] wie sie in
> wiki definiert
> ist, entspricht doch bei mir [mm]A\vec y[/mm] und diese Funktion ist
> stetig in der 1. Variablen (t) und in der 2. Variablen (y).
> Somit sollte sich für mein gegebenes Intervall [mm]t\in [0,1][/mm]
> immer ein solches Maximum, wie in wiki definiert finden
> lassen. Muss ich hier noch was zeigen, das sieht ja, dass
> die Norm von [mm]\|A\vec y\|[/mm] für t und y stetig ist. Oder
> denke ich hier falsch?
Nein, hier musst Du nichts mehr zeigen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Fr 19.04.2013 | | Autor: | quiddi |
Ich dank dir,
super Forum hier, bekommt man schnelle Antworten
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 So 21.04.2013 | | Autor: | Helbig |
> Grüß dich MathePower, ich denke, dass du die lokale
> Version von PL meinst, zumal dein Link auch dahin
> verweißt.
>
> Diese Funktion [mm]\|f(x,y)\|[/mm] wie sie in
> wiki definiert
> ist, entspricht doch bei mir [mm]A\vec y[/mm] und diese Funktion ist
> stetig in der 1. Variablen (t) und in der 2. Variablen (y).
> Somit sollte sich für mein gegebenes Intervall [mm]t\in [0,1][/mm]
> immer ein solches Maximum, wie in wiki definiert finden
> lassen.
Nach welchem Satz sollte diese Funktion ein Maximum haben? Und selbst wenn: Picard-Lindelöf verlangt doch, daß $f$ einer Lipschitzbedingung genügt, und nicht nur, daß $f$ beschränkt ist.
> Muss ich hier noch was zeigen, das sieht ja, dass
> die Norm von [mm]\|A\vec y\|[/mm] für t und y stetig ist. Oder
> denke ich hier falsch?
Zweiteres.
Gruß,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Fr 19.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die DGL eindeutig lösbar ist auf [mm]t\in [ 0,1][/mm]:
>
> [mm]x''(t)=2\cdot t\cdot x(t)-t^2\cdot x'(t)[/mm]
Das stimmt doch nicht ! Es handelt sich um eine homogene lineare DGL 2. Ordnung, deren Lösungmenge ein 2 - dimensionale Vektorraum ist.
Picard- Lindelöf greift nur bei Anfangswertproblemen !
FRED
> Wollte mal fragen
> ob meine Ideen hier richtig sind:
>
> Ich habe gedacht, dafür braucht man Picard-Lindelöf, da
> dieser nur für DGL's 1. Ordnung gilt habe ich die DGL in
> ein DGL-System umgeschrieben, also:
>
> [mm]y_1=x[/mm]
> [mm]y_2=x'=y_1'[/mm]
>
> Somit habe ich dann folgendes System:
> [mm]\begin{pmatrix}
y_1'\\ y_2'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
2t & -t^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2
\end{pmatrix}:=A\vec y[/mm]
>
> PL(global) sagt ja jetzt, dass die Lösung eindeutig ist
> wenn:
> [mm]\|f(t,y_a)-f(t,y_b)\|\le L\|y_a-y_b\|[/mm]
> Da die Norm von
> [mm]\|y_a-y_b\|[/mm] nie negativ ist und unter der Annahme, dass sie
> nie 0 ist, darf ich dann schreiben:
> [mm]\frac{\|f(t,y_a)-f(t,y_b)\|}{\|y_a-y_b\|}\le L[/mm]
> Im
> Grenzwert [mm]lim_{a\rightarrow b}[/mm] würde ich dann schreiben:
> [mm]\dot \vec y\le L[/mm]
>
> Somit würde ich dann schreiben:
> [mm]\|\dot \vec y\|=\|A\vec y\| \le \|A\|\cdot \|y\|[/mm]
>
> Da [mm]\|A\|[/mm] für das Intervall [mm][0,1][/mm] beschränkt ist, muss
> zwangsmäßig auch [mm]\vec y[/mm] beschränkt sein, somit sollte
> sich immer eine Konstante L finden lassen, sodass gilt:
> [mm]\|\dot \vec y\|\le L[/mm]
>
> Womit die Lösung eindeutig wäre, solange ich
> Anfangsbedingungen für mein Problem gegeben habe, die ich
> laut Aufgabenstellung ja aber nicht gegeben habe.
>
> Ich danke für eure Hilfe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Fr 19.04.2013 | | Autor: | quiddi |
Hallo Fred,
die Anfangswertbedingungen fehlen meiner Meinung ja auch, denke dass der Aufgabensteller sie vergessen hat. Es handelt sich um ein altes Prüfungsprotokoll. Siehe in meinem 1. Beitrag:
> Womit die Lösung eindeutig wäre, solange ich
> Anfangsbedingungen für mein Problem gegeben habe, die ich
> laut Aufgabenstellung ja aber nicht gegeben habe.
Was wäre dein Vorschlag für eine Lösung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Sa 20.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> die Anfangswertbedingungen fehlen meiner Meinung ja auch,
> denke dass der Aufgabensteller sie vergessen hat. Es
> handelt sich um ein altes Prüfungsprotokoll. Siehe in
> meinem 1. Beitrag:
> > Womit die Lösung eindeutig wäre, solange ich
> > Anfangsbedingungen für mein Problem gegeben habe, die ich
> > laut Aufgabenstellung ja aber nicht gegeben habe.
>
>
> Was wäre dein Vorschlag für eine Lösung?
Ja, aber die Sache mit der Lipschitzbedingung hast Du nicht korrekt gezeigt, das hat Wolfgang schon gesagt.
Wir haben also das lineare DGL-System
$y'=A(t)y=f(t,y)$
mit
[mm] A(t)=\pmat{ 0 & 1 \\ 2t & -t^2 } [/mm] und $f(t,y)=A(t)y$.
wobei $(t,y) [mm] \in [/mm] D:=[0,1] [mm] \times \IR^2.$
[/mm]
(ich hab die doofen Pfeile mal weggelassen).
Mit der euklidischen Norm [mm] ||*||_2 [/mm] auf [mm] \IR^2 [/mm] erhalten wir
[mm] ||f(t,y)-f(t,z)||_2=||A(t)(y-z)||_2 \le ||A(t)||*||y-z||_2=\wurzel{1+4t^2+t^4}*||y-z||_2 \le \wurzel{6}*||y-z||_2 [/mm] für t [mm] \in [/mm] [0,1] und y,z [mm] \in \IR^2.
[/mm]
Damit genügt f auf D einer Lipschitzbedingung bezügl. y.
Ist nun [mm] t_0 \in [/mm] [0,1] und [mm] y_0 \in \IR^2, [/mm] so besitzt, nach Picard-Lindelöf, das Anfangswertproblem
$y'=A(t)y=f(t,y)$ , [mm] y(t_0)=y_0
[/mm]
auf [0,1] genau eine Lösung.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Helbig |
> Zeigen Sie, dass die DGL eindeutig lösbar ist auf [mm]t\in [ 0,1][/mm]:
>
> [mm]x''(t)=2\cdot t\cdot x(t)-t^2\cdot x'(t)[/mm]
Die DGL ist nicht eindeutig lösbar, sondern bestenfalls ein auf dieser DGL basierendes Anfangswertproblem. Halte die Begriffe "Lösung eines Anfangswertproblems" und "Lösung einer DGL" auseinander!
> Wollte mal fragen
> ob meine Ideen hier richtig sind:
>
> Ich habe gedacht, dafür braucht man Picard-Lindelöf, da
> dieser nur für DGL's 1. Ordnung gilt habe ich die DGL in
> ein DGL-System umgeschrieben, also:
>
> [mm]y_1=x[/mm]
> [mm]y_2=x'=y_1'[/mm]
>
> Somit habe ich dann folgendes System:
> [mm]\begin{pmatrix}
y_1'\\ y_2'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
2t & -t^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2
\end{pmatrix}:=A\vec y[/mm]
>
> PL(global) sagt ja jetzt, dass die Lösung eindeutig ist
> wenn:
> [mm]\|f(t,y_a)-f(t,y_b)\|\le L\|y_a-y_b\|[/mm]
> Da die Norm von
> [mm]\|y_a-y_b\|[/mm] nie negativ ist und unter der Annahme, dass sie
> nie 0 ist, darf ich dann schreiben:
> [mm]\frac{\|f(t,y_a)-f(t,y_b)\|}{\|y_a-y_b\|}\le L[/mm]
> Im
> Grenzwert [mm]lim_{a\rightarrow b}[/mm] würde ich dann schreiben:
> [mm]\dot \vec y\le L[/mm]
Demnach folgt aus der Lipschitzbedingung [mm] $\|\dot {\vec y}\|\le L\,.$ [/mm] Du hast aber keineswegs eine Lipschitzbedingung nachgewiesen! Außerdem haben wir es hier nicht mit Funktionen [mm] $y\,,$ [/mm] sondern mit Vektoren $y$ zu tun! Insbesondere ist also [mm] $\dot{\vec y}$ [/mm] sinnlos!
Um eine Lipschitzschranke zu erhalten, beachte, daß die Operatornorm [mm] $\|A(t)\|$ [/mm] auf $[0,1]$ beschränkt ist.
Gruß,
Wolfgang
>
> Somit würde ich dann schreiben:
> [mm]\|\dot \vec y\|=\|A\vec y\| \le \|A\|\cdot \|y\|[/mm]
>
> Da [mm]\|A\|[/mm] für das Intervall [mm][0,1][/mm] beschränkt ist, muss
> zwangsmäßig auch [mm]\vec y[/mm] beschränkt sein, somit sollte
> sich immer eine Konstante L finden lassen, sodass gilt:
> [mm]\|\dot \vec y\|\le L[/mm]
>
> Womit die Lösung eindeutig wäre, solange ich
> Anfangsbedingungen für mein Problem gegeben habe, die ich
> laut Aufgabenstellung ja aber nicht gegeben habe.
>
> Ich danke für eure Hilfe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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