eindim., zeitun. Schrö.Gl. < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen von folgender Gleichung:
[mm]\psi''+\left( \bruch{8\pi^2 \*m}{h^2} \right)\*E\psi=0[/mm] |
Guten Nachmittag!
Ich bin es seit langem mal wieder, diesmal mit einer Frage zu der eindimensionalen und zeitunabhänigen Schrödingergleichung. Ich habe sie noch weiter vereinfacht und gehe nun von einem linearen Potentialtopf aus, den dem also die potentielle Engerige ortunsabhänig ist.
Gleichwohl ich diese gerne als nächstes auch mal etwa für das Feld eines H-Atoms im eindimensionalen Lösen würde, nur dort bekomme ich eine homhogene DGL die aber keine konstanten Koeffizienten hat, und das macht mir große Probleme beim Lösen, da ich dann nicht weiter weiss.
Nun zuersteinmal die obige Gleichung...
Wenn ich richtig bin, ist es eine Gleichung der Form:
[mm]y''+a*y=0[/mm]
Zu dieser habe ich die komplexen Lösungen betrachtet, die sich, so hoffe ich, so schreiben lassen:
[mm]y(x)=C_1*cos(b*x)+C_2*sin(b*x)[/mm]
wobei gilt: [mm]b=\wurzel{a} [/mm]
Angewendet auf den Fall der Schrödingergleichung erhalte ich:
[mm]\psi(x)=C_1*cos\left( \wurzel{\left \bruch{8\pi^2 \*m}{h^2}E \right}*x\right)+C_2*sin\left( \wurzel{\left \bruch{8\pi^2 \*m}{h^2}E \right}*x\right) [/mm]
So weit so gut, hoffe ich zumindest . Nun habe ich das Problem, dass ich in irgendeiner Weise nun Randbedingungen einbringen muss, um die Konstanten [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm] zu bestimmen.
Nun weis ich jedoch nicht weiter. Ich denke, es muss etwa berücksichtigt werden, dass der Potentialtopf nun eine Ausdehnug von [mm]L[/mm] hat und daher [mm]\psi(0)=0[/mm] und [mm]\psi(L)=0[/mm]. Jedoch bin ich mir damit auch nicht sicher, da es eventuell die Auftreffwahrscheinlichkeit [mm]\left|\psi(x)\right|^2[/mm] sein müsste.
Es wäre sehr nett, wenn ihr mir eventuell sagen könntet, wo etwas falsch ist bzw. eine Hilfe geben, wie ich an der Stelle, an der ich bin weiterkomme, etwa wie und mit welchen Rantbedingungen ich weiterarbeiten muss.
Schon mal danke im Vorraus!
Mit freundlichem Gruss
Goldener Schnitt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 So 07.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Lösen von folgender Gleichung:
> [mm]\psi''+\left( \bruch{8\pi^2 \*m}{h^2} \right)\*E\psi=0[/mm]
>
> Guten Nachmittag!
> Ich bin es seit langem mal wieder, diesmal mit einer Frage
> zu der eindimensionalen und zeitunabhänigen
> Schrödingergleichung. Ich habe sie noch weiter vereinfacht
> und gehe nun von einem linearen Potentialtopf aus, den dem
> also die potentielle Engerige ortunsabhänig ist.
> Gleichwohl ich diese gerne als nächstes auch mal etwa für
> das Feld eines H-Atoms im eindimensionalen Lösen würde, nur
> dort bekomme ich eine homhogene DGL die aber keine
> konstanten Koeffizienten hat, und das macht mir große
> Probleme beim Lösen, da ich dann nicht weiter weiss.
> Nun zuersteinmal die obige Gleichung...
> Wenn ich richtig bin, ist es eine Gleichung der Form:
> [mm]y''+a*y=0[/mm]
> Zu dieser habe ich die komplexen Lösungen betrachtet, die
> sich, so hoffe ich, so schreiben lassen:
> [mm]y(x)=C_1*cos(b*x)+C_2*sin(b*x)[/mm]
> wobei gilt: [mm]b=\wurzel{a}[/mm]
>
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> Angewendet auf den Fall der Schrödingergleichung erhalte
> ich:
> [mm]\psi(x)=C_1*cos\left( \wurzel{\left \bruch{8\pi^2 \*m}{h^2}E \right}*x\right)+C_2*sin\left( \wurzel{\left \bruch{8\pi^2 \*m}{h^2}E \right}*x\right)[/mm]
>
> So weit so gut, hoffe ich zumindest. Nun habe ich das
> Problem, dass ich in irgendeiner Weise nun Randbedingungen
> einbringen muss, um die Konstanten [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm] zu
> bestimmen.
> Nun weis ich jedoch nicht weiter. Ich denke, es muss etwa
> berücksichtigt werden, dass der Potentialtopf nun eine
> Ausdehnug von [mm]L[/mm] hat und daher [mm]\psi(0)=0[/mm] und [mm]\psi(L)=0[/mm].
> Jedoch bin ich mir damit auch nicht sicher, da es eventuell
> die Auftreffwahrscheinlichkeit [mm]\left|\psi(x)\right|^2[/mm] sein
> müsste.
Wenn ich das richtig verstehe, dann willst du die Schrödingergleichung lösen für einen unendlich hohen Potentialtopf, der von x=0 bis x=L geht. Daher ist die Wellenfunktion außerhalb des Topfes 0, und du hast die Randbedingungen [mm]\psi(0)=0[/mm] und [mm]\psi(L)=0[/mm].
Aus der ersten Randbedingung [mm]\psi(0)=0[/mm] ergibt sich [mm] $C_1=0$, [/mm] aus der zweiten eine Bedingung für die erlaubten Werte der Energie E.
Die Konstante [mm] $C_2$ [/mm] berechnest du mit der Normierungsbedingung
[mm] \integral_0^L |\psi(x)|^2 dx = 1 [/mm]
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier!
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer!
Wollte mich erstmal für die schnelle und sehr vertsändliche Antwort bedanken!
Ich lag also bis dahin doch richtig, mit meiner Rechnung. Werde das mal schnell zu Ende führen, dieses Integral lösen.
Später käme ich gerne dazu, dies mit einer ortsabhänigen potentiellen Energie zu berechnen.
Edit: So, ich habe das Integral gelöst bekommen und damit [mm]C_2[/mm] bestimmt.
Somit bekomme ich insgesamt wie angegeben folgendes als Lösung:
[mm]\psi(x)=\wurzel{\left \bruch{2}{L} \right}*sin\left(\left\bruch{n*\pi}{L} \right*x\right)[/mm]
Dann werde ich bestimmt mal wieder hier Hife erbitten.
Noch einmal ein großes Dankschön!
Mit freundlichen Grüßen
Goldener Schnitt
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