eine Nullstelle < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:18 Mo 21.12.2009 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] eine durch M [mm] \in \IR [/mm] beschränkte Folge.
Zeige: ist [mm] a_1 \not= [/mm] 0, so hat [mm] f(x)=\summe_{n=1}^\infty a_nx^n [/mm] auf [mm] ]-\bruch{|a_1|}{M},\bruch{|a_1|}{M}[ [/mm] nur die Nullstelle x=0 |
Hallo,
die Aufgabe habe ich bis jetzt so weit gelöst:
Schreibe f(x)= [mm] a_1*x+g(x), [/mm] mit [mm] g(x)=x*\summe_{n=1}^\infty a_{n+1}x^n
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=0 [mm] \gdw a_1*x=x*\summe_{n=1}^\infty a_{n+1}x^n \gdw [/mm] x=0 oder [mm] a_1 [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^\infty a_{n+1}x^n [/mm]
Warum aber die letzte Gleichung in [mm] ]-\bruch{|a_1|}{M},\bruch{|a_1|}{M}[ [/mm] keine Lösung hat, weiß ich nicht zu zeigen?!
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Mo 21.12.2009 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
dass x=0 Nullstelle ist hast du ja schon gezeigt. Da hätte es gereicht wenn du 0 einfach mal dort eingesetzt hättest.
Jetzt musst du noch zeigen, dass es keine andere Nullstelle in dem Intervall mehr gibt.
Was hattet ihr in der Vorlesung so für Sätze?
Vielleicht Zwischenwert-Satz oder sowas?
Kannst du mit Monotonie irgendwas zeigen?
Vielleicht hilft dir ja die erste Ableitung weiter.
Das wären jetzt meine ersten Ideen dazu.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 01:19 Di 22.12.2009 | | Autor: | wee |
Danke für die Antwort,
den Zwischenwertsatz hatten wir, mit Ableiten noch nichts.
Wie kann ich aber mit den ZWS argumentieren. Ich weiß schonmal, dass f(x) im Intervall [mm] ]-\bruch{|a_1|}{M},\bruch{|a_1|}{M}[ [/mm] stetig ist, also der ZWS anwendtbar ist.
DAnn weiß ich aber doch nur, dass f Nullstellen hat, oder noch mehr?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Di 22.12.2009 | | Autor: | wee |
Also ein Korollar aus dem ZWS besagt, dass eine streng monotone, stetige Funktion Intervalle wieder auf Intervalle abbildet. Das heißt in diesem Fall, dass wenn man ziegt, dass die Funktion f(x) streng monoton ist im Intervall [mm] ]-\bruch{|a_1|}{M},\bruch{|a_1|}{M}[, [/mm] dann nimmt die Funktion nur eine Nullstelle an.
Schreibt man jetzt [mm] f(x)=\summe_{n=1}^\infty a_nx^n= a_1*x+x*\summe_{n=1}^\infty a_{n+1}x^n, [/mm] sieht man, der erste Summand a_1x klar streng monoton wachsend ist.
Beim zweiten Summand bin ich mir noch nicht sicher:
da [mm] a_n \leq [/mm] M [mm] \forall n\geq1 [/mm] kann man den Summanden [mm] x*\summe_{n=1}^\infty a_{n+1}x^n [/mm] mit der geometrischen Reihe abschätzen durch [mm] M*\bruch{x}{1-x}-1 [/mm] = [mm] M*\bruch{-1}{x-1}-2
[/mm]
Der Term ist für x [mm] \in ]-\bruch{|a_1|}{M},\bruch{|a_1|}{M}[ [/mm] auch streng monoton wachsend.
Aber ich weiß nicht ob ich jetzt schon alles gezeigt habe, denn ich habe das Gefühl, bei dem zweiten Summanden mit der Abschätzung noch nichts gezeigt zu haben?!
Hoffentlich kann mir hier jemand noch ein bisschen Klarheit verschaffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Di 22.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also ein Korollar aus dem ZWS besagt, dass eine streng
> monotone, stetige Funktion Intervalle wieder auf Intervalle
> abbildet. Das heißt in diesem Fall, dass wenn man ziegt,
> dass die Funktion f(x) streng monoton ist im Intervall
> [mm]]-\bruch{|a_1|}{M},\bruch{|a_1|}{M}[,[/mm] dann nimmt die
> Funktion nur eine Nullstelle an.
>
> Schreibt man jetzt [mm]f(x)=\summe_{n=1}^\infty a_nx^n= a_1*x+x*\summe_{n=1}^\infty a_{n+1}x^n,[/mm]
> sieht man, der erste Summand a_1x klar streng monoton
> wachsend ist.
Wie bitte ? Wenn [mm] a_1<0 [/mm] ist, so ist a_1x monoton fallend
>
> Beim zweiten Summand bin ich mir noch nicht sicher:
>
> da [mm]a_n \leq[/mm] M [mm]\forall n\geq1[/mm] kann man den Summanden
> [mm]x*\summe_{n=1}^\infty a_{n+1}x^n[/mm] mit der geometrischen
> Reihe abschätzen durch [mm]M*\bruch{x}{1-x}-1[/mm] =
> [mm]M*\bruch{-1}{x-1}-2[/mm]
> Der Term ist für x [mm]\in ]-\bruch{|a_1|}{M},\bruch{|a_1|}{M}[[/mm]
> auch streng monoton wachsend.
>
> Aber ich weiß nicht ob ich jetzt schon alles gezeigt habe,
> denn ich habe das Gefühl, bei dem zweiten Summanden mit
> der Abschätzung noch nichts gezeigt zu haben?!
So ist es !
Beispiel: für x [mm] \ge [/mm] 0 ist $sinx [mm] \le [/mm] x$
Die Funktion x ist streng monoton , der Sinus aber nicht
FRED
>
> Hoffentlich kann mir hier jemand noch ein bisschen Klarheit
> verschaffen
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:11 Di 22.12.2009 | | Autor: | wee |
Ok, da habe ich mich wirklich ein bisschen verrannt.
Aber [mm] a_1 [/mm] x ist jeden falls stremgmonoton für [mm] a_1 \not=0.
[/mm]
Im Moment bleibt mir nur, für den anderen Summand, oder einer anderen Lösungsidee zu bitten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 24.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:23 Do 24.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 23.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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