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| Aufgabe | Gesucht ist die exakte Lösung der gewöhnlichen DGL
y´´ + y + 1 = 0, y(0) = y(1) = 0 |
Hallo,
diese ist eigentlich Teil einer größeren, anderen Aufgabe, in der das Problem numerisch gelöst werden soll, die direkte Lösung soll nur der Überprüfung dienen. Leider bin ich DGLen überhaupt nicht fit und habe nun per Internet versucht, den richtigen Ansatz zu finden.
Der sähe bei mir so aus:
1.) Charakteristische Gleichung
[mm] \lambda^2 [/mm] + 1 = 0 [mm] \gdw \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] i
[mm] \Rightarrow y_{hom} [/mm] = [mm] e^{x} (c_{1}sin(x) [/mm] + [mm] c_{2}cos(x))
[/mm]
2.) Partikuläre Lösung (über den Polynomansatz "gefunden")
[mm] y_{p} [/mm] = -1
3.) Variation der Konstanten
[mm] y_{ges}(0) [/mm] = [mm] e^{0}(c_{1}sin(0)+c_{2}cos(0)) [/mm] - 1 [mm] =c_{2} [/mm] - 1 = 0 [mm] \gdw c_{2} [/mm] = 1
[mm] y_{ges}(1) [/mm] = [mm] e^{1}(c_{1}sin(1)+cos(1)) [/mm] - 1 = 0 [mm] \gdw c_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-e*cos(1)+1}{e*sin(1)} \approx [/mm] -0.145088838
Und Schluß. Nun ist diese sehr umständlich berechnete Lösung leider wenig exakt - woran liegt das? Wenn mir jemand sagen könnte, wie der richtige Ansatz lautet oder, wo mein Fehler liegt, wäre ich sehr dankbar.
Gruß, Karl
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Hallo karlhungus,
> Gesucht ist die exakt Lösung der gewöhnlichen DGL
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> y´´ + y + 1 = 0, y(0) = y(1) = 0
> Hallo,
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> diese ist eigentlich Teil einer größeren, anderen
> Aufgabe, in der das Problem numerisch gelöst werden soll,
> die direkte Lösung soll nur der Überprüfung dienen.
> Leider bin ich DGLen überhaupt nicht fit und habe nun per
> Internet versucht, den richtigen Ansatz zu finden.
>
> Der sähe bei mir so aus:
>
> 1.) Charakteristische Gleichung
>
> [mm]\lambda^2[/mm] + 1 = 0 [mm]\gdw \lambda_{1,2}[/mm] = [mm]\pm[/mm] i
>
> [mm]\Rightarrow y_{hom}[/mm] = [mm]e^{x} (c_{1}sin(x)[/mm] + [mm]c_{2}cos(x))[/mm]
Die homogene Lösung dieser DGL lautet doch:
[mm]y_{hom} = c_{1}sin(x) + c_{2}cos(x)[/mm]
>
> 2.) Partikuläre Lösung (über den Polynomansatz
> "gefunden")
>
> [mm]y_{p}[/mm] = -1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 3.) Variation der Konstanten
Hier meinst Du wohl "Bestimmung der speziellen Lösung".
>
> [mm]y_{ges}(0)[/mm] = [mm]e^{0}(c_{1}sin(0)+c_{2}cos(0))[/mm] - 1 [mm]=c_{2}[/mm] - 1
> = 0 [mm]\gdw c_{2}[/mm] = 1
>
> [mm]y_{ges}(1)[/mm] = [mm]e^{1}(c_{1}sin(1)+cos(1))[/mm] - 1 = 0 [mm]\gdw c_{1}[/mm] =
> [mm]\bruch{-e*cos(1)+1}{e*sin(1)} \approx[/mm] -0.145088838
>
> Und Schluß. Nun ist diese sehr umständlich berechnete
> Lösung leider wenig exakt - woran liegt das? Wenn mir
> jemand sagen könnte, wie der richtige Ansatz lautet oder,
> wo mein Fehler liegt, wäre ich sehr dankbar.
>
> Gruß, Karl
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Mi 05.01.2011 | | Autor: | karlhungus |
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okay, da war ich woh etwas voreilig mit meiner mitteilung eben.
auch mit der neuen homogenen lösung ergibt sich für
[mm] y_{ges}(1)=c_{1}*sin(1)+cos(1)-1=0 \gdw c_{1} =\bruch{1-cos(1)}{sin(1)} \approx [/mm] 0.54630249
ist das die geforderte exakte lösung? sieht mir nicht so aus 
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Hallo karlhungus,
> okay, da war ich woh etwas voreilig mit meiner mitteilung
> eben.
>
> auch mit der neuen homogenen lösung ergibt sich für
>
> [mm]y_{ges}(1)=c_{1}*sin(1)+cos(1)-1=0 \gdw c_{1} =\bruch{1-cos(1)}{sin(1)} \approx[/mm]
> 0.54630249
>
> ist das die geforderte exakte lösung? sieht mir nicht so
> aus
Das ist auch nicht die exakte Lösung.
Die exakte Lösung der DGL sieht so aus:
[mm]y_{ges}(x)=\bruch{1-cos(1)}{sin(1)}*sin(x)+cos(x)-1[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Mi 05.01.2011 | | Autor: | karlhungus |
ja, das hab ich auch gemeint, mir schien dieser ausdruck einfach zu unschön, aber wenn es so ist, dann ist es so.
vielen dank in jedem fall.
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