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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] \mathfrak{sl}_2(\IC) [/mm] eine einfache Lie-Algebra ist, dass also {0} und [mm] \mathfrak{sl}_2(\IC) [/mm] die einzigen Ideale in [mm] \mathfrak{sl}_2(\IC) [/mm] sind. |
Zur Erinnerung: [mm] \mathfrak{sl}_2(\IC) [/mm] ist der Raum der 2x2-Matrizen mit Spur 0. Dieser Raum ist 3-dimensional, die Basiselemente sind:
[mm] e=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, f=\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, h=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1}
[/mm]
Es gilt zudem:
[e,f]=h, [h,e]=2e, [h,f]=-2f
Ich habe mir erst mal angeschaut, was passiert, wenn ich [r,i] ausrechne, wobei [mm] r\in\mathfrak{sl}_2(\IC) [/mm] mit [mm] 0\not=r=xe+yf+zh [/mm] und [mm] i\in I\subset\mathfrak{sl}_2(\IC) [/mm] mit [mm] 0\not=i=ae+bf+ch. [/mm] (x,y,z,a,b,c [mm] \in \IC)
[/mm]
Dann bekomme ich:
[r,i] = 2(za-xc)e + 2(yc-zb)f + (xb-ya)h
Hilft mir das weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 Fr 02.11.2012 | | Autor: | hippias |
> Zeigen Sie, dass [mm]\mathfrak{sl}_2(\IC)[/mm] eine einfache
> Lie-Algebra ist, dass also {0} und [mm]\mathfrak{sl}_2(\IC)[/mm] die
> einzigen Ideale in [mm]\mathfrak{sl}_2(\IC)[/mm] sind.
> Zur Erinnerung: [mm]\mathfrak{sl}_2(\IC)[/mm] ist der Raum der
> 2x2-Matrizen mit Spur 0. Dieser Raum ist 3-dimensional, die
> Basiselemente sind:
>
> [mm]e=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, f=\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, h=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1}[/mm]
>
> Es gilt zudem:
> [e,f]=h, [h,e]=2e, [h,f]=-2f
>
> Ich habe mir erst mal angeschaut, was passiert, wenn ich
> [r,i] ausrechne, wobei [mm]r\in\mathfrak{sl}_2(\IC)[/mm] mit
> [mm]0\not=r=xe+yf+zh[/mm] und [mm]i\in I\subset\mathfrak{sl}_2(\IC)[/mm] mit
> [mm]0\not=i=ae+bf+ch.[/mm] (x,y,z,a,b,c [mm]\in \IC)[/mm]
>
> Dann bekomme ich:
> [r,i] = 2(za-xc)e + 2(yc-zb)f + (cb-ya)h
>
> Hilft mir das weiter?
Schaetze schon: Du koenntest jetzt versuchen nachzuweisen, dass es stets moeglich ist $x,y,z$ so zu waehlen, dass $[r,i]$ jeweils die Basisvektoren ergibt.
Es duertfe aber auch hilfreich sein zu beruecksichtigen, dass $I$ $1$- oder $2$-dimensional ist, da sich dadurch schon gewisse Einschraenkungen ergeben: Ist etwa $dim I= 1$, so muss ja $I$ im Zentrum von [mm] $sl_{2}(\IC)$ [/mm] liegen.
P.S. Ich habe Deine Rechnungen nicht ueberprueft.
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