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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Fr 25.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | Löse die folgenden AWPs:
[mm] 1.x'=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 2 }*x [/mm] , [mm] x(0)=x_0 [/mm] |
Hallo,
habe nur ganz schnell eine Mini-Frage:
Zuerst berechnet man ja die Determinate von [mm] A-\lambda*1I [/mm] = [mm] (1-\lambda)(2-\lambda) \Rightarrow [/mm] hier braucht man das charakt. Polynom garnicht man sieht die Eigenwerte so: [mm] \lambda_1 [/mm] = 1, [mm] \lambda_2=2.
[/mm]
Jetzt braucht man ja die Eigenvektoren. Hier kenn ich das aus der Linearen Algebra so, dass man für jeden Eigenwert die Matrix [mm] A-\lambda_1*1I [/mm] bzw. [mm] A-\lambda_1*1I [/mm] ausrechnet, dann für beide jeweils den Kern bestimmt und daraus die Eigenvektoren abliest. Wir haben das in der Analysis - Übung aber so gemacht: A*v = [mm] \lambda_1*v_ [/mm] und A*w = [mm] \lambda_2*w=2w [/mm]
Damit ergibt sich für [mm] \lambda_1: v_1 [/mm] + [mm] 2*v_2 [/mm] = [mm] 1*v_1 \Rightarrow v_2 [/mm] = 0; [mm] 2*v_2 [/mm] = [mm] v_2 \Rightarrow v_2 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow v_1 [/mm] frei wählbar?? [mm] \Rightarrow [/mm] v = [mm] (v_1, v_2)^t [/mm] = z.B. [mm] (1,0)^t
[/mm]
und für [mm] \lambda_2: [/mm] A*w = 2 w [mm] \gdw w_1 [/mm] + [mm] 2*w_2 [/mm] = [mm] 2*w_1 [/mm] und [mm] 2*w_2 [/mm] = [mm] 2*w_2 \Rightarrow w_1 [/mm] = [mm] 2*w_2, [/mm] eines frei wählbär [mm] \Rightarrow [/mm] w = [mm] (w_1, w_2)^t [/mm] = z.B.: [mm] (2,1)^t.
[/mm]
Ich hoffe das hab ich richtig verstanden. Meine Frage ist: warum darf ich das hier machen? Darf man das immer so machen oder ist das ein Spezialfall?
Weiter: W = [mm] \pmat{ v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Dann weiter: Die Inverse von W berechnen, einfach durch Umformen kommt man schnell auf: [mm] W^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 1 }. [/mm] dann D (die diagonalsierte A-matrix) berechnen: D = [mm] W^{-1}*A*W [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 }.
[/mm]
x (t) = exp [mm] (A*t)*x_0 [/mm] = [mm] W*\pmat{ e^t & 0 \\ 0 & e^{2*t} } [/mm]
Also schließe ich daraus, dass: exp (A*t) = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ e^t & 0 \\ 0 & e^{2*t}} [/mm] * [mm] x_0 [/mm] . Ist das richtig so?
Also wäre dann ja [mm] exp(A)*x_0 [/mm] = [mm] \pmat{ e^t & 2*e^{2*t} \\ 0 & e^{2*t} }, [/mm] richtig?
und jetz mal ganz dumm gefragt: was ist denn dann das Endergebnis? Soll ich dann links für exp(A*t) die Matrix [mm] \pmat{ e^t & e^{2*t} \\ 0 & e^{2*t}} [/mm] (stimmt das?) einsetzen?
Falls ja wie kriege ich dann das [mm] x_0? [/mm]
wenn ich in der letzten Gleichung auf beiden Seiten logarithmiere (darf ich das einfach so bei Matrizen?) erhalte ich ja [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 2 }*ln(x_0) [/mm] = [mm] \pmat{ t & ln(2)*2*t \\ error & 2*t }. \Rightarrow [/mm] ich glaube das darf ich nicht machen. Aber was dann?
Tut mir Leid, dass ich so dämlich frage, aber ich habe das beim Lernen für die Klausur komplett weggelassen weil ich dachte das ist ja eh so einfach - und morgen ist die Klausur...
liebe Grüße
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Hallo a_la_fin,
> Löse die folgenden AWPs:
> [mm]1.x'=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 2 }*x[/mm] , [mm]x(0)=x_0[/mm]
> Hallo,
>
> habe nur ganz schnell eine Mini-Frage:
> Zuerst berechnet man ja die Determinate von [mm]A-\lambda*1I[/mm] =
> [mm](1-\lambda)(2-\lambda) \Rightarrow[/mm] hier braucht man das
> charakt. Polynom garnicht man sieht die Eigenwerte so:
> [mm]\lambda_1[/mm] = 1, [mm]\lambda_2=2.[/mm]
> Jetzt braucht man ja die Eigenvektoren. Hier kenn ich das
> aus der Linearen Algebra so, dass man für jeden Eigenwert
> die Matrix [mm]A-\lambda_1*1I[/mm] bzw. [mm]A-\lambda_1*1I[/mm] ausrechnet,
> dann für beide jeweils den Kern bestimmt und daraus die
> Eigenvektoren abliest. Wir haben das in der Analysis -
> Übung aber so gemacht: A*v = [mm]\lambda_1*v_[/mm] und A*w =
> [mm]\lambda_2*w=2w[/mm]
> Damit ergibt sich für [mm]\lambda_1: v_1[/mm] + [mm]2*v_2[/mm] = [mm]1*v_1 \Rightarrow v_2[/mm]
> = 0; [mm]2*v_2[/mm] = [mm]v_2 \Rightarrow v_2[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow v_1[/mm] frei
> wählbar?? [mm]\Rightarrow[/mm] v = [mm](v_1, v_2)^t[/mm] = z.B. [mm](1,0)^t[/mm]
> und für [mm]\lambda_2:[/mm] A*w = 2 w [mm]\gdw w_1[/mm] + [mm]2*w_2[/mm] = [mm]2*w_1[/mm]
> und [mm]2*w_2[/mm] = [mm]2*w_2 \Rightarrow w_1[/mm] = [mm]2*w_2,[/mm] eines frei
> wählbär [mm]\Rightarrow[/mm] w = [mm](w_1, w_2)^t[/mm] = z.B.: [mm](2,1)^t.[/mm]
> Ich hoffe das hab ich richtig verstanden. Meine Frage ist:
> warum darf ich das hier machen? Darf man das immer so
> machen oder ist das ein Spezialfall?
Das macht man immer so.
Umgeformt ergibt das:
[mm]\left(A-\lambda_{1}*E\right)*v=0[/mm]
bzw.
[mm]\left(A-\lambda_{2}*E\right)*w=0[/mm]
mit E Einheitsmatrix.
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> Weiter: W = [mm]\pmat{ v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Dann weiter: Die Inverse von W berechnen, einfach durch
> Umformen kommt man schnell auf: [mm]W^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 1 }.[/mm]
> dann D (die diagonalsierte A-matrix) berechnen: D =
> [mm]W^{-1}*A*W[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 }.[/mm]
>
> x (t) = exp [mm](A*t)*x_0[/mm] = [mm]W*\pmat{ e^t & 0 \\ 0 & e^{2*t} }[/mm]
> Also schließe ich daraus, dass: exp (A*t) = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }[/mm]
> * [mm]\pmat{ e^t & 0 \\ 0 & e^{2*t}}[/mm] * [mm]x_0[/mm] . Ist das richtig
> so?
> Also wäre dann ja [mm]exp(A)*x_0[/mm] = [mm]\pmat{ e^t & 2*e^{2*t} \\ 0 & e^{2*t} },[/mm]
> richtig?
> und jetz mal ganz dumm gefragt: was ist denn dann das
> Endergebnis? Soll ich dann links für exp(A*t) die Matrix
> [mm]\pmat{ e^t & e^{2*t} \\ 0 & e^{2*t}}[/mm] (stimmt das?)
> einsetzen?
Die Matrix
[mm]\pmat{ e^t & 2*e^{2*t} \\ 0 & e^{2*t}}[/mm]
ist ein Fundamentalsystem dieser DGL.
Die allgemeine Lösung dieser DGL ergibt sich dann zu:
[mm]x\left(t\right)=C_{1}*\pmat{1 \\ 0}*e^{t}+C_{2}*\pmat{2 \\ 1}*e^{2t}[/mm]
[mm]=C_{1}*v*e^{t}+C_{2}*w*e^{2t}[/mm]
Die Lösung, die der obigen Anfangsbedingung genügt,
bekommst Du, wenn das Gleichungssystem
[mm]x_{0}=x\left(0\right)=C_{1}*\pmat{1 \\ 0}*e^{0}+C_{2}*\pmat{2 \\ 1}*e^{2*0}[/mm]
löst.
> Falls ja wie kriege ich dann das [mm]x_0?[/mm]
> wenn ich in der letzten Gleichung auf beiden Seiten
> logarithmiere (darf ich das einfach so bei Matrizen?)
> erhalte ich ja [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 2 }*ln(x_0)[/mm] = [mm]\pmat{ t & ln(2)*2*t \\ error & 2*t }. \Rightarrow[/mm]
> ich glaube das darf ich nicht machen. Aber was dann?
>
> Tut mir Leid, dass ich so dämlich frage, aber ich habe das
> beim Lernen für die Klausur komplett weggelassen weil ich
> dachte das ist ja eh so einfach - und morgen ist die
> Klausur...
>
> liebe Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Fr 25.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
Hallo Mathe Power,
>
> Die Matrix
>
> [mm]\pmat{ e^t & 2*e^{2*t} \\ 0 & e^{2*t}}[/mm]
>
>
> ist ein Fundamentalsystem dieser DGL.
>
> Die allgemeine Lösung dieser DGL ergibt sich dann zu:
>
> [mm]x\left(t\right)=C_{1}*\pmat{1 \\ 0}*e^{t}+C_{2}*\pmat{2 \\ 1}*e^{2t}[/mm]
>
> [mm]=C_{1}*v*e^{t}+C_{2}*w*e^{2t}[/mm]
>
> Die Lösung, die der obigen Anfangsbedingung genügt,
> bekommst Du, wenn das Gleichungssystem
>
> [mm]x_{0}=x\left(0\right)=C_{1}*\pmat{1 \\ 0}*e^{0}+C_{2}*\pmat{2 \\ 1}*e^{2*0}[/mm]
>
> löst.
>
Ok, also ist der Lösungsvektor in dem Fall: [mm] x_0=\pmat{c_{11} + 2*c_{21} \\ c_{22}} [/mm] ? Und was sind denn [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2?
[/mm]
Danke im Vorraus...
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Hallo a_la_fin,
> Hallo Mathe Power,
>
> >
> > Die Matrix
> >
> > [mm]\pmat{ e^t & 2*e^{2*t} \\ 0 & e^{2*t}}[/mm]
> >
> >
> > ist ein Fundamentalsystem dieser DGL.
> >
> > Die allgemeine Lösung dieser DGL ergibt sich dann zu:
> >
> > [mm]x\left(t\right)=C_{1}*\pmat{1 \\ 0}*e^{t}+C_{2}*\pmat{2 \\ 1}*e^{2t}[/mm]
>
> >
> > [mm]=C_{1}*v*e^{t}+C_{2}*w*e^{2t}[/mm]
> >
> > Die Lösung, die der obigen Anfangsbedingung genügt,
> > bekommst Du, wenn das Gleichungssystem
> >
> > [mm]x_{0}=x\left(0\right)=C_{1}*\pmat{1 \\ 0}*e^{0}+C_{2}*\pmat{2 \\ 1}*e^{2*0}[/mm]
>
> >
> > löst.
> >
> Ok, also ist der Lösungsvektor in dem Fall:
> [mm]x_0=\pmat{c_{11} + 2*c_{21} \\ c_{22}}[/mm] ? Und was sind denn
Es ist hier
[mm]x_0=\pmat{C_{1} + 2*C_{2} \\ C_{2}}[/mm]
das Gleichungssystem, das zu lösen ist.
> [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2?[/mm]
[mm]C_{1}, \ C_{2}[/mm] sind hier die Konstanten,
die sich aus der Anfangsbedingung ergeben.
>
> Danke im Vorraus...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Fr 25.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Löse folgende AWPs:
2. x' = \pmat{ 2 & -2 \\ 1 & 0 }*x , x(0)=x_0 |
Hallo,
hier sind die komplexen Eigenwerte ja (1+i) und (1-i). Aber wie erhalte ich die denn überhaupt? Das charakteristische Polynom ist ja \lambda^2 - 2*\lambda + 2 , das lässt sich ja nicht lösen, weil unter der Wurzell in der Mitternachtsformel -4 stehen würde. Wenn ich doort (1+i) einsetze, kommt 2+i und wenn ich (1+i) einsetze kommt -i raus. Wenn ich vorne (1+i) und hinten (1-i) einsetzee, kommt 3 i raus. Sind die denn überhaupt richtig die Eigenwerte?
Dann weiter, wenn ich die hab: daraus soll man sofort SEHEN (nur wie?) dass W = \pmat{ 1+i & 1-i \\ 1 & 1 }. Diese dann invertieren = \bruch{1}{2}*(\pmat{ -i & 1+i \\ i & 1-i }. Leider hatte ich da auch Probleme. Frage: wie invertiert man denn am besten eine komplexe 2*2 Matrix?? Mit Umformen bin ich nur auf \pmat{ \bruch{1}{2*i} & \bruch{1+i}{2} \\ -2*i^{-1} & (1+i)^2 } = \bruch{1}{2} \pmat i^{-1} & 1+i \\ -2*i^{-1} & (1+i)^2 }gekommen :-(
Dann bekomme ich doch für D \bruch{1}{2}*\pmat{ 2+2*i & 0 \\ 0 & -2i } = \pmat{ 1+i & 0 \\ 0 & -i } heraus, oder?
lG
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Hallo a_la_fin,
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Löse folgende AWPs:
> 2. x' = [mm] \pmat{ 2 & -2 \\ 1 & 0 }*x [/mm] , [mm] x(0)=x_0
[/mm]
> Hallo,
>
> hier sind die komplexen Eigenwerte ja (1+i) und (1-i). Aber
> wie erhalte ich die denn überhaupt? Das charakteristische
> Polynom ist ja [mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] 2*\lambda [/mm] + 2 , das lässt sich
> ja nicht lösen, weil unter der Wurzell in der
> Mitternachtsformel -4 stehen würde. Wenn ich doort (1+i)
> einsetze, kommt 2+i und wenn ich (1+i) einsetze kommt -i
> raus. Wenn ich vorne (1+i) und hinten (1-i) einsetzee,
> kommt 3 i raus. Sind die denn überhaupt richtig die
> Eigenwerte?
Ja.
> Dann weiter, wenn ich die hab: daraus soll man sofort
> SEHEN (nur wie?) dass W = [mm] \pmat{ 1+i & 1-i \\ 1 & 1 }. [/mm]
Für die Eigenwerte verschwindet die Determinante dieser Matrix.
Das ist hier der Fall, wenn z.B. die 2. Zeile ein Vielfaches der 1. Zeile ist.
Betrachte hier die 2.Zeile:
Diese schreibt sich dann so: [mm]x_{1}-\lambda_{k}*x_{2}=0, \ k=1,2[/mm]
Hier wählt man dann [mm]x_{1}=\lambda_{k}, \ x_{2}=1[/mm]
Dann ergibt sich die Matrix
[mm]W = \pmat{ \lambda_{1} & \lambda_{2} \\ 1 & 1 }= \pmat{ 1+i & 1-i \\ 1 & 1 }[/mm]
> Diese dann invertieren = [mm] \bruch{1}{2}*(\pmat{ -i & 1+i \\ i
> & 1-i }. [/mm] Leider hatte ich da auch Probleme. Frage: wie
> invertiert man denn am besten eine komplexe 2*2 Matrix??
Da machst Du genauso, wie bei reellen Einträgen der Matrix.
> Mit Umformen bin ich nur auf [mm] \pmat{ \bruch{1}{2*i} &
> \bruch{1+i}{2} \\ -2*i^{-1} & (1+i)^2 } [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
> [mm] \pmat{ i^{-1} & 1+i \\ -2*i^{-1} & (1+i)^2 } [/mm] gekommen :-(
Poste doch mal die Rechenschritte, wie Du hierauf gekommen bist.
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> Dann bekomme ich doch für D [mm] \bruch{1}{2}*\pmat{ 2+2*i & 0
> \\ 0 & -2i } [/mm] = [mm] \pmat{ 1+i & 0 \\ 0 & -i } [/mm] heraus, oder?
Ich nehme an, D ist die Diagonalmatrix,
diese muß auf der Diagonalen, die Eigenwerte als Einträge haben.
>
> lG
Gruss
MathePower
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