(einfaches) unbest. Integral < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Di 18.02.2014 | | Autor: | havoc1 |
| Aufgabe | | Stammfunktion von [mm] \integral_{}^{}{\bruch{dp}{p(m-np)} } [/mm] |
Ich verzweifle gerade an diesem eigentlich einfachem Integral. Da ich die Partialbruchzerlegung nicht gleich gesehen habe, hab ich ersteinaml substituiert:
s=m-np
[mm] dp=\bruch{-ds}{n}
[/mm]
[mm] p=\bruch{m-s}{n}
[/mm]
Damit sollte gelten:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dp}{p(m-np)} }=
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{-ds}{n*\bruch{m-s}{n}*s} }=
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{ds}{(s-m)*s} }=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{m} \integral_{}^{}{\bruch{1}{s-m}-\bruch{1}{s}} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{m}(log(s-m)-log(s)=+c= [/mm]
...und mit Rücksubstitution:
[mm] \bruch{1}{m}*(log(-np)-log(m-np))+c
[/mm]
Leider müsste das Ergebnis lauten:
[mm] \bruch{1}{m}*(log(p)-log(m-np))+c
[/mm]
Leider sehe ich den Fehler nicht, ich hoffe ihr könnt mir helfen.
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Hallo havoc!
Mal abgesehen von den fehlenden Betragsstrichen bei der Stammfunktion, hast Du keinen Fehler gemacht.
Deine Lösung und die Musterlösung unterscheiden sich lediglich in der Integrationskonstante.
Bedenke, dass gilt:
[mm] $\bruch{1}{m}*\ln|-n*p|+c'$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{m}*\left( \ \ln|-n|+\ln|p| \ \right)+c'$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{m}*\ln|-n|+ \bruch{1}{m}*\ln|p| [/mm] +c'$
Nun ist [mm] $\bruch{1}{m}*\ln|-n|$ [/mm] ein von der Variable unabhängiger (und damit konstanter) Term, der dann zu einer Konstanten zusammengefasst wird:
$c \ := \ [mm] c'+\bruch{1}{m}*\ln|-n|$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Di 18.02.2014 | | Autor: | havoc1 |
Ah, das Vereinfachen durch die Konstante übersehe ich immer wieder mal ._.
Vielen Dank für deine Hilfe, ich dachte schon ich kann nicht mehr substituieren :)
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