el. Feldkonstante errechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 So 09.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | Betrachtet wird eine homogen mit Dichte [mm] \rho [/mm] elektrisch geladene Kugel [mm] B\subseteq \IR^3 [/mm] mit dem Radis R>0 und dem Koordiantenursprung als Mittelpunkt. Das dazugehörige elektrostatische Potenzial [mm] \phi(\vec{s}) [/mm] in einem Punkt [mm] \vec{s}=(0,0,s) [/mm] mit s>R ist dann gegeben durch
[mm] \phi(\vec{s})=\bruch{\rho}{4\pi\varepsilon_{0}}\integral_{B}^{}{\bruch{1}{|\vec{x}-\vec{s}|}}
[/mm]
mit der elektrischen Feldkonstanten [mm] \varepsilon_{0}. [/mm] Berechnen Sie [mm] \phi(\vec{s}) [/mm] |
Hey,
bin mir bei dieser Aufgabe nicht ganz sicher weil ich da nach dem Vektor [mm] \vec{x} [/mm] integrieren soll.
Also als erstes würde ich sagen das die untere Grenze 0 ist und die obere Grenze R.
Aber wie es jetzt weiter geht bin ich mir nicht sicher. Hab noch nie nen Betrag integiert... würde jetzt sagen das entspreche [mm] ln|\vec{x}-\vec{s}|
[/mm]
aber das wäre wohl zu leicht?
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Hiho,
Du hast eine homogen geladene Kugel mit Zentrum im Koordinatenursprung.
Verwende nun Polarkoordinaten, dann vereinfacht sich deine Formel aus Symmetriegründen erheblich.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 So 09.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
hmm ja ok das klingt logisch. Hab ne Kugel das in Kugelkoordianten zu transformieren.
damit ergibt sich ja
[mm] \vec{x}=\vektor{r*cos\varphi*cos\delta \\r*sin\varphi*cos\delta \\ r*sin\delta}
[/mm]
Das dann minus dem [mm] \vec{s} [/mm] aus der Aufgabe und daraus den Betrag ergäbe ja
[mm] \wurzel{(r*cos\varphi*cos\delta)^2 + (r*sin\varphi*cos\delta)^2 + (r*sin\delta - s)^2} [/mm] = [mm] r\wurzel{cos\varphi^2*cos\delta^2 + sin\varphi^2*cos\delta^2 + sin\delta^2 - s^2}
[/mm]
Dann daraus das Integral bilden?
[mm] \integral_{0}^{R}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1}{r\wurzel{cos\varphi^2*cos\delta^2 + sin\varphi^2*cos\delta^2 + sin\delta^2 - s^2}}d\delta d\varphi dr}}}
[/mm]
Mein Bauch sagt ist richtig. Aber mein Kopf sagt das bei der Wurzel irgendwas falsch gelaufen ist? Oder kann man die noch vereinfachen und ich habe es nur nicht gesehen?
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Hallo Teryosas,
> hmm ja ok das klingt logisch. Hab ne Kugel das in
> Kugelkoordianten zu transformieren.
> damit ergibt sich ja
> [mm]\vec{x}=\vektor{r*cos\varphi*cos\delta \\r*sin\varphi*cos\delta \\ r*sin\delta}[/mm]
>
> Das dann minus dem [mm]\vec{s}[/mm] aus der Aufgabe und daraus den
> Betrag ergäbe ja
>
> [mm]\wurzel{(r*cos\varphi*cos\delta)^2 + (r*sin\varphi*cos\delta)^2 + (r*sin\delta - s)^2}[/mm]
> = [mm]r\wurzel{cos\varphi^2*cos\delta^2 + sin\varphi^2*cos\delta^2 + sin\delta^2 - s^2}[/mm]
>
Die rechte Seite stimmt nicht.
Aus der Wurzel kann kein "r" ausgeklammert werden.
> Dann daraus das Integral bilden?
>
> [mm]\integral_{0}^{R}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1}{r\wurzel{cos\varphi^2*cos\delta^2 + sin\varphi^2*cos\delta^2 + sin\delta^2 - s^2}}d\delta d\varphi dr}}}[/mm]
>
Es fehlt hier noch die ![[]](/images/popup.gif) Jacobi-Determinante.
> Mein Bauch sagt ist richtig. Aber mein Kopf sagt das bei
> der Wurzel irgendwas falsch gelaufen ist? Oder kann man die
> noch vereinfachen und ich habe es nur nicht gesehen?
Der entstehende Integrand ist dann noch zusammenzufassen.
Gruss
MathePower
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