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| Aufgabe | Sei K ein endlicher Körper mit |K|=q und [mm] V=K^n [/mm] mit [mm] n\ge2. [/mm] Für [mm] a\in [/mm] K sei
[mm] U_a:= {(k_1, ..., k_n_-1, ak_n_-1)| k_j\in K} [/mm] und
[mm] U_\infty:={(k_1, ..., k_n_-_2, 0, k_n)|k_j\in K}.
[/mm]
Zeigen Sie:
(a) [mm] U_a<\not=V [/mm] und [mm] U_\infty <\not=V,
[/mm]
(b) [mm] V=(\bigcup\ a_\in_K U_a) \cup U_\infty. [/mm] |
Hallöchen,ich bin hier grad ganz neu dazugekommen und hätte auch schon eine Aufgabe,für welche ich eure Hilfe benötige.Man muss schon ewig hieran sitzen,um die Aufgabenstellung alleine schon zu verstehen. Bitte sagt mir mal,wo genau ich ansetzen könnte. Lieben Gruß.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei K ein endlicher Körper mit |K|=q und [mm]V=K^n[/mm] mit [mm]n\ge2.[/mm]
> Für [mm]a\in[/mm] K sei
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> [mm]U_a:= \{(k_1, ..., k_{n-1}, ak_{n-1})| k_j\in K\}[/mm] und
> [mm]U_\infty:=\{(k_1, ..., k_n_-_2, 0, k_n)|k_j\in K\}.[/mm]
>
> Zeigen Sie:
>
> (a) [mm]U_a<\not=V[/mm] und [mm]U_\infty <\not=V,[/mm]
> (b) [mm]V=(\bigcup\ a_\in_K U_a) \cup U_\infty.[/mm]
>
> Hallöchen,ich bin hier grad ganz neu dazugekommen und hätte
> auch schon eine Aufgabe,für welche ich eure Hilfe
> benötige.Man muss schon ewig hieran sitzen,um die
> Aufgabenstellung alleine schon zu verstehen. Bitte sagt mir
> mal,wo genau ich ansetzen könnte.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Da Du ganz neu bei uns bist, solltest Du Dir einmal die Forenregeln durchlesen, insbesondere den Passus über [/url=https://matheraum.de/codex#loesungsansaetze]eigene Lösungsansätze[/url].
Wenn Du ewig gesessen hast, um die Aufgabenstellung zu verstehen, wäre es z.B. schön, wenn Du mitteilen würdest, WIE Du sie verstanden hast, und was Du Dir zur Bearbeitung derselben überlegt hast. Wenn die Überlegungen noch Schwächen haben, macht das nichts, deshalb bist Du ja hier.
Wenn ich die zeichen in (a) richtig deute, sollst Du also zeigen, daß die angegebenen Mengen [mm] U_a [/mm] und [mm] U_\infty [/mm] Untervektorräume des [mm] K^n [/mm] sind.
Was ist ein Untervektorraum? Was muß man dafür nachweisen? Wie hast Du versucht, das umzusetzen.
Falls Dir die Umsetzung nicht gelungen ist, beschreibe mal die Elemente, die in [mm] U_a [/mm] bzw in [mm] U_\infty [/mm] sind.
Bevor diese Dinge nicht klar sind, brauchen wir über (b) nicht nachzudenken.
Gruß v. Angela
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Ein Untervektorraum $U$ eines Vektorraums $V$ über [mm] $\mathbb{K}$ [/mm]
entsteht, wenn man bestimmte Elemente des Vektorraums wegläßt.
Dabei müssen die im Untervektorraum $U$ verbleibenden Elemente folgende
Eingenschaften erfüllen:
- [mm] U\not=\emptyset
[/mm]
- für alle [mm] x,y\in [/mm] U gilt [mm] x+y\in [/mm] U und für alle [mm] x\in [/mm] U, [mm] \lambda\in\mathbb{K} [/mm]
gilt [mm] \lambda x\in [/mm] U
Somit hat ein Vektorraum mindestens zwei Untervektorräume.
Einmal sind diese Axiome in dem Vektorraum selbst gegeben,
so dass der Vektorraum Untervektorraum zu sich selbst ist.
Einmal ist in jedem Vektorraum der Nullvektor enthalten.
Der Nullvektor alleine ist auch ein Vektorraum.
[mm] $U_{1}\cap U_{2} \mbox{ Untervektorraum, wenn } U_{1}\mbox{ und } U_{2}\mbox{ Untervektorraum}$
[/mm]
Sei [mm] $V_{\mathbb{K}}$ [/mm] ein Vektorraum und [mm] $v_{1},\ldots,v_{n}\in V_{\mathbb{K}}$. [/mm] Jede Linearkombination
[mm] $L(v_{1},\ldots,v_{n})$ [/mm] ist Untervektorraum.
Also mein Anfang war vllt.ersteinmal:
z.z. [mm] U_a<\not=V [/mm] --> [mm] U_a\subset [/mm] V (V belieb.Element aus [mm] U_1\subset [/mm] V
[mm]U_a:= \{(k_1, ..., k_{n-1}, ak_{n-1})| k_j\in K\}[/mm]
Unterraum: [mm] r=(r_1,...,r_n_-1,ak_n_-1)\in U_a
[/mm]
[mm] s=(s_1,...,s_n_-1,ak_n_-1)\in U_a
[/mm]
[mm] t=r+s=(r_1+s_1,...,r_n_-1+s_n_-1,a(r_n_-1+s_n_-1))
[/mm]
[mm] t=t_1+t_n_-1+a(t_n_-1)
[/mm]
könnte dies soweit evtll.stimmen? LG
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Hallo,
woher kommt "Tigerlilli"? Ich kenne das irgendwie... Prinzessin Tigerlilli? Janosch?
> Ein Untervektorraum [mm]U[/mm] eines Vektorraums [mm]V[/mm] über [mm]\mathbb{K}[/mm]
> entsteht, wenn man bestimmte Elemente des Vektorraums
> wegläßt.
Nein.
Ein Untervektorraum U ist ein vollwertiger Vektorraum, jede Eigenschaft eine Vektorraumes gilt auch im Untervektorraum.
Was beim Untervektorraum "Unter" ist, ist die Tatsache, daß die Menge U eine Teilmenge des Vektorraumes V ist, und daß die Verknüpfungen dieselben sind wie im Vektorraum V.
Das hat zur Folge, daß manche Vektorraumaxiome "automatisch" gelten, so daß man für die VR-Eigenschaft von U nur noch nachweisen muß
> Dabei müssen die im Untervektorraum [mm]U[/mm] verbleibenden
> Elemente folgende
> Eingenschaften erfüllen:
>
> - [mm]U\not=\emptyset[/mm]
> - für alle [mm]x,y\in[/mm] U gilt [mm]x+y\in[/mm] U und für alle [mm]x\in[/mm] U,
> [mm]\lambda\in\mathbb{K}[/mm]
> gilt [mm]\lambda x\in[/mm] U
>
> Also mein Anfang war vllt.ersteinmal:
> z.z. [mm]U_a<\not=V[/mm]
Bew.:
A. Zunächst solltest Du ein Element benennen, welches in [mm] U_a [/mm] liegt, denn wenn die Menge leer ist, können wir uns alle folgenden Mühen sparen...
Damit hättest Du dann
> - [mm]U\not=\emptyset[/mm]
abgehandelt.
B. zu zeigen
> - für alle [mm]x,y\in[/mm] U gilt [mm]x+y\in[/mm] U und für alle [mm]x\in[/mm] U
Es ist
> [mm]U_a:= \{(k_1, ..., k_{n-1}, ak_{n-1})| k_j\in K\}[/mm]
Seien r,s [mm] \in U_a, [/mm] dann gibt es [mm] r_i [/mm] und [mm] s_i \in [/mm] K mit
> [mm]r=(r_1,...,r_n_-1,ak_n_-1)\in U_a[/mm],
>
> [mm]s=(s_1,...,s_n_-1,ak_n_-1)\in U_a[/mm]
Es ist
>
> [mm]t:=r+s=(r_1+s_1,...,r_n_-1+s_n_-1,a(r_n_-1+s_n_-1))[/mm]
Weil K ein Körper sit, sind die [mm] r_i +k_i [/mm] in K,
und weil die n-te Komponente von t das a-fache der (n-1)-ten ist, ist [mm] t\in U_a
[/mm]
Also ist [mm] U_a [/mm] abgeschlossen bzgl +.
Nun mußt Du Vergleichbares noch für die Multiplikation mit Skalaren treiben.
zur anderen Teilaufgabe lies später [url/read?t=326099]hier[/url].
> Sei [mm]V_{\mathbb{K}}[/mm] ein Vektorraum und [mm]v_{1},\ldots,v_{n}\in V_{\mathbb{K}}[/mm].
> Jede Linearkombination
> [mm]L(v_{1},\ldots,v_{n})[/mm] ist Untervektorraum.
Nein, nein, eine Linearkombination kann kein VR sein...
Aber: die Menge aller Linearkombinationen von [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_n, L(v_1, [/mm] ..., [mm] v_n) [/mm] ist ein Vektorraum, genannt
die Lineare Hülle von [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_n [/mm] oder
der von [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_n [/mm] erzeugte Vektorraum oder
der Span von [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_n.
[/mm]
(Das hat mit der Aufgabe aber nichts weiter zu tun)
Gruß v. Angela
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