endlicher Körper, p^n Elemente < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:15 Do 19.02.2015 | | Autor: | YuSul |
Hi,
ich habe mal eine Frage zu endlichen Körpern mit [mm] $p^n$ [/mm] Elementen, wobei p eine Primzahl ist.
Etwa [mm] $\IZ/25\IZ$ [/mm] ist ein Körper. Aber wie meint man das nun? Denn mit den "üblichen" Elementen, also den Zahlen 0 bis 24 wäre dies ja kein Körper, da nicht Nullteiler frei.
Ich habe schon öfters solche Verknüpfungstafeln gesehen wo man dann eben nur die Neutralelemente 0 und 1 hat und jedes andere Element "neu" bezeichnet.
Heißt das, dass man für derartige Körper also nur eine sinnvolle Addition und Multiplikation definieren kann, dass die Körperaxiome erfüllt sind, man aber nicht mehr so rechnen kann wie man es "gewohnt" ist?
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[mm] $\IZ/25$ [/mm] ist kein Körper! Wo wird so etwas behauptet? Den Grund hast du ja angegeben. Es ist einfach unprkatisch, die Elemente von [mm] $\IF_{25} [/mm] $ mit Zahlen zu benennen, weil die Verknüpfungen dann keine Eigenschaft hätten, die wir uns für die Zahlen wünschen würden. Allerdings wird, so weit ich mich auskenne, sowieso äußerst selten mit einer konkreten Konstruktion von [mm] $\IF_{p^n} [/mm] $ für $ n> 1$ gearbeitet.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:28 Do 19.02.2015 | | Autor: | statler |
Hi,
trotzdem könnte sich der Fragesteller ja - zu Übungszwecken - mal überlegen, wie man denn eine explizite Konstruktion anpacken würde. Z. B. mittels eines irreduziblen Polynoms über Z/5Z, was man auch erst finden müßte.
Gruß Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Sa 21.02.2015 | | Autor: | YuSul |
Sorry, dass ich mich erst jetzt wieder melde.
Da bin ich wohl dem Irrglauben aufgesessen, dass etwa
[mm] $F_4\cong \IZ/4\IZ$ [/mm] ist. Ja, ok wenn man etwas näher darüber nachdenkt, dann ist es sofort klar, dass diese "Objekte" nicht die selbe Struktur haben können, weil letzteres ja ganz offensichtlich kein Körper ist...
Enthalten diese endlichen Körper dann stets Polynome als Elemente, oder ist das auch von Körper zu Körper unterschiedlich (für n>1)?
@statler:
Ja, diese Frage finde ich interessant. Auch hier wird sicherlich der Homomorphiesatz eine Rolle spielen, wenn ich zeigen kann, dass dies Isomorph zu einem bekannten Körper ist, dessen Kern dieses irreduzible Polynom ist.
[mm] $X^2+1$ [/mm] ist nicht irreduzibel über [mm] $\IZ/5\IZ$.
[/mm]
"Naheliegende" irreduzible Polynome vom Grad 2 sollten
[mm] $X^2+2$ [/mm] und [mm] $X^2+3$ [/mm] sein. Kann natürlich auch schwerer werden.
Stellt sich nun die Frage wozu so ein Polynom der Kern wäre...
Ok, vielleicht sollte man es lieber so schreiben:
[mm] $X^2-3$ [/mm] und [mm] $X^2-2$
[/mm]
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Hallo YuSul,
deine erste Frage:
> Enthalten diese endlichen Körper dann stets Polynome als
> Elemente, oder ist das auch von Körper zu Körper
> unterschiedlich (für n>1)?
Was die Elemente eines gewissen Körpers "sind" , also z.B.
Polynome, Punkte oder Zahlen einer gewissen Sorte, ist
unerheblich. Ein Körper kann gewissermaßen in unter-
schiedlichen "Kleidern" daherkommen. Zwei Körper gelten
als identisch, wenn sie isomorph sind.
Der Körper mit 25 Elementen :
In Charakteristik 5 ist -1 stets ein Quadrat: [mm] 2^2\equiv [/mm] -1 (mod 5).
Keine Quadrate modulo 5 sind jedoch die Zahlen 2 und 3.
(In Charakteristik p mit p>2 sind stets genau die Hälfte der
Elemente der multiplikativen Gruppe [mm] \mathbb F_q^* [/mm] Quadrate bzw. Nichtquadrate.)
Man kann also den Körper mit 25 Elementen als [mm] \mathbb F_5[X]/(X^2-2), [/mm]
also durch Adjunktion von [mm] \sqrt [/mm] 2 erhalten. (![[]](/images/popup.gif) siehe da)
LG , Al-Chwarizmi
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