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Forum "Stetigkeit" - epsilon-delta kriterium
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epsilon-delta kriterium: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:17 So 23.06.2013
Autor: heinze

Aufgabe
Zeige: [mm] f:\IR\to \IR, [/mm] f(x)=sin(x) ist in 0 stetig.

Tipp: [mm] \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{sinx}{x}=1 [/mm]

wenn ich Stetigkeit zeigen will muss ich zeigen:

|f(x)-f(0)|=|sin(x)-sin(0)| =|sin(x)|

Allerdings verstehe ich nicht, warum ich den Tipp anwenden kann, dabei handelt es sich ja um eine ganz andere Funktion!


LG
heinze

        
Bezug
epsilon-delta kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 So 23.06.2013
Autor: fred97


> Zeige: [mm]f:\IR\to \IR,[/mm] f(x)=sin(x) ist in 0 stetig.
>  
> Tipp: [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \bruch{sinx}{x}=1[/mm]
>  wenn ich
> Stetigkeit zeigen will muss ich zeigen:
>  
> |f(x)-f(0)|=|sin(x)-sin(0)| =|sin(x)|
>  
> Allerdings verstehe ich nicht, warum ich den Tipp anwenden
> kann, dabei handelt es sich ja um eine ganz andere
> Funktion!


Für x [mm] \ne [/mm] 0 ist

     $f(x)= [mm] \bruch{sinx}{x}*x$ [/mm]

Jetzt lass mal x [mm] \to [/mm] 0 gehen.

Verallgemeinerung:

Ist I [mm] \subseteq \IR [/mm] ein Intervall und f:I [mm] \to \IR [/mm] differenzierbar, so ist f stetig auf I:

Beweis: Sei [mm] x_0 \in [/mm] I


     [mm] f(x)-f(x_0)= \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}*(x-x_0) \to f'(x_0)*0=0 [/mm] (x [mm] \to x_0). [/mm]


Das hast Du sicher schon mal gesehen !

FRED

>  
>
> LG
>  heinze


Bezug
                
Bezug
epsilon-delta kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:02 So 23.06.2013
Autor: heinze

Danke fred, aber der Begriff Differenzierbarkeit ist beim Thema Stetigkeit bisher noch nicht gefallen.

Nach folgendem Schema haben wir das bisher gemacht. (Das Formale beim Kriterium lasse ich jetzt mal weg)

[mm] f(x)=\bruch{1}{x^2} [/mm] ist stetig in 1

[mm] |f(x)-f(1)|=|\bruch{1}{x^2}-1|=|\bruch{1-x^2}{x^2}|\le |\bruch{x^2}{x}|=\bruch{|x|}{1}=|\delta|=\epsilon [/mm]

Und in  der Form sinn ich das mit sin(x) stetig in x=0 machen mit [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] machen. Nur wie?


Lg
heinze

Bezug
                        
Bezug
epsilon-delta kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:21 So 23.06.2013
Autor: Marcel

Hallo Heinze,

> Danke fred, aber der Begriff Differenzierbarkeit ist beim
> Thema Stetigkeit bisher noch nicht gefallen.
>  
> Nach folgendem Schema haben wir das bisher gemacht. (Das
> Formale beim Kriterium lasse ich jetzt mal weg)
>  
> [mm]f(x)=\bruch{1}{x^2}[/mm] ist stetig in 1
>  
> [mm]|f(x)-f(1)|=|\bruch{1}{x^2}-1|=|\bruch{1-x^2}{x^2}|\le |\bruch{x^2}{x}|=\bruch{|x|}{1}=|\delta|=\epsilon[/mm]
>  
> Und in  der Form sinn ich das mit sin(x) stetig in x=0
> machen mit [mm]\bruch{sin(x)}{x}[/mm] machen. Nur wie?

dann müßt ihr (irgendwie, etwa mit der Reihendarstellung des Sinus) nachgewiesen
haben, dass [mm] $\sin(x)/x \to [/mm] 1$ (und damit auch [mm] $|\sin(x)/x| \to [/mm] 1$) bei $x [mm] \to [/mm] 0$ gilt.

Das reicht ja auch:
Für $x [mm] \not=0$ [/mm] gilt dann
[mm] $$|\sin(x)-\sin(0)|=|\sin(x)|=|\tfrac{\sin(x)}{x}|*|x|\,.$$ [/mm]

Mit $x [mm] \to [/mm] 0$ folgt dann
[mm] $$|\sin(x)-\sin(0)| \to 1*|0|=1*0=0\,.$$ [/mm]

Das kannst Du natürlich auch mit [mm] $\epsilon-\delta$ [/mm] formulieren... (Allerdings besser,
wie das in dem Beispiel von Dir illustriert wird!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
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epsilon-delta kriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:21 So 23.06.2013
Autor: Marcel

Hi,


> Tipp: [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \bruch{sinx}{x}=1[/mm]

beim Tipp steht sicher:

    [mm]\limes_{\red{\textbf{x}}\rightarrow 0} \bruch{sinx}{x}=1[/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
epsilon-delta kriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:03 So 23.06.2013
Autor: heinze

Danke für den Hinweis, Marcel! Das war ein Tippfehler von mir! ;-)


LG
heinze

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