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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Di 17.10.2006 | | Autor: | kerli |
| Aufgabe | Löse Burgers Gleichung [mm] (u_{t} [/mm] + [mm] u*u_{x}=0) [/mm] für
[mm] u(x,0)=\begin{cases} 2, & \mbox{für } x<0 \\ 1, & \mbox{für } 02 \end{cases} [/mm] |
Da an beiden Unstetigkeiten [mm] u_{l} [/mm] > [mm] u_{r} [/mm] gilt, ist die schwache Lösung eindeutig. Mein Problem ist aber nun, wie genau sieht diese Lösung aus und wie komme ich darauf.
Wie die Charakteristiken und Schockwege aussehen ist mir klar. Nur bei der Berechnung der schwachen Lösung, wo ich erst mit einer Testfunktion multiplizieren und dann integrieren muss, hapert es dann doch. Ich denke, mein Problem liegt einfach beim integrieren, wie integriere ich das Ganze so, dass ich weiß wie die Lösung aussieht?
Ich habe die Vermutung es ist folgende, kann mir das jemand bestätigen?
[mm] u(x,t)=\begin{cases} 2, & \mbox{für } x < \bruch{3}{2}\*t \\ 1, & \mbox{für } \bruch{3}{2}\*t < x < \bruch{1}{2}\*t + 2 \\ 0, & \mbox{für } x > \bruch{1}{2}\*t + 2 \end{cases}
[/mm]
Vielen Dank im voraus, Kerli.
ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Kerli,
ich denke, bei dieser Aufgabe sollst du die charakteristiken-loesung bestimmen und argumentieren, ob eine schwache loesung existiert und eindeutig ist. Wenn beide existieren, stimmen ja schwache und starke loesung grundsaetzlich ueberein, du brauchst also kein spezielles verfahren, um die schwache loesung zu bestimmen. diesen begriff braucht man fuer die erhaltungsgleichungen einfach, weil unstetigkeiten auftreten und man an diesen stellen nicht mehr von einer klassischen loesung sprechen kann.
Global gesehen hast du dann also eine schwache loesung, aber lokal, jenseits der schockwege, ist sie dennoch stark.
Ein bisschen klarer jetzt? 
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Mo 23.10.2006 | | Autor: | kerli |
Hey,
danke erstmal für die Antwort!
D.h. du würdest gar nicht integrieren, sondern einfach die Schockwege jeweils über die Rankine-Hugoniot-Sprungbedingung mit den jeweils linken und rechten Zuständen berechnen und die Charakteristiken mittels deren Formel und dann noch ne Zeichnung.
Durch die Unterscheidung der Riemann-Probleme in
[mm] u_{l} [/mm] > [mm] u_{r} [/mm] ergibt eindeutige Schocklösung,
[mm] u_{r} [/mm] > [mm] u_{l} [/mm] erlaubt mathematisch ohne Entropiebedingungen mehr als eine Lösung, wäre ich dann fertig.
Danke für deine Einschätzung des Problems...
mfG Kerli
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