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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Do 19.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Hab grad ein bisschen rumgerechnet und bin hängen geblieben bei der Bestimmung der Ableitung von [mm] f(x)=x^{x}. [/mm] Ich weiß zwar, was rauskommen muss, aber wie komme ich auf das Ergebnis [mm] (ln(x)+1)*x^{x}
[/mm]
Wäre für Hilfe dankbar.
liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Do 19.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Danke schon mal. Also das mit der Umformung ist einleuchtend. Auch wie ich mittels Produktregel auf ln(x)+1 komme. Ich komm nur noch nicht auf den zweiten Faktor der Ableitung [mm] x^{x}. [/mm] Dazu muss ich sicher die Kettenregel anwenden. Die äußere Ableitung hab ich ja schon bestimmt mit ln(x)+1, aber an der inneren mangelts.
liebe Grüße
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Hallo,
wir leiten zunächst mit der Kettenregel ab:
[mm] (e^{x*ln(x)})'=e^{x*ln(x)}* [/mm] innere Ableitung
Die innere Ableitung ist nun x*ln(x) abgeleitet, also mit der Produktregel
[mm] (x*ln(x))'=1*ln(x)+x*\bruch{1}{x}=ln(x)+1
[/mm]
Also ist die Ableitung
[mm] (e^{x*ln(x)})'
[/mm]
[mm] =e^{x*ln(x)}*(ln(x)+1)
[/mm]
[mm] =e^{x*ln(x)}*ln(x)+e^{x*ln(x)}
[/mm]
[mm] =x^{x}*ln(x)+x^{x}
[/mm]
[mm] =(1+ln(x))x^{x}
[/mm]
Das war's!
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Do 19.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Klar, danke dir.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Do 19.01.2006 | | Autor: | wulfen |
Hallo Franzi. Also, die innere Ableitung hast du ja richtig. Die Kettenregel besagt doch innere Ableitung mal die Äußere. Du mußt also jetzt noch die e-Funktion an sich ableiten. Und die e-Funktion abgeleitet ist wieder die e-Funktion. du hast also dann das hier raus:
(ln(x) + 1) * [mm] e^{xln(x)}
[/mm]
und [mm] e^{xln(x)} [/mm] ist ja [mm] x^{x}
[/mm]
Hoffe du kannst das so verstehen. Ansonsten nochmal melden.
Gruß
Tobias
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Kettenregel