erwartungstreue Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Mo 10.12.2007 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Sei X die Anzahl der Unfälle in einer bestimmten Stadt in einer Woche. Wir betrachten X als Poissonverteilung mit Parameter [mm] \lambda [/mm] >0. Wir wollen aus der Beobachtung von X die Wahrscheinlichkeit schätzen, dass in den folgenden drei Wochen kein Unfall geschieht, also [mm] t(P)=(P(X=0))^3. [/mm] Zeigen Sie: Ist T erwartungstreuer Schätzer, so liefert T unsinnige Schätzwerte. |
Erwartungstreu heißt doch das er den Mittelwert schätzt, oder? Dann liefert ein erwartungstreuer Schätzer unsinnige Schätzwerte, weil jede woche anders ist, aber was hat man dann zu rechnen, oder habe ich da was falsch verstanden?
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Ich beschäftige mich auch gerade mit der Aufgabe, verstehe die Aufgabenstellung aber noch nicht ganz. Man soll (P(X=0))³ schätzen, soviel hab ich kapiert, und da X Poissonverteilt ist gilt (P(X=0)³ = [mm] e^{-3\lambda}. [/mm] Erwartungstreu heißt, wie jumape schon sagte, dass E(T)= [mm] e^{-3\lambda}. [/mm] Was heißt nun "aus der Beobachtung von X", bedeutet das, dass einfach, dass man aus Erhebungen weiß, dass X Poisson-Verteilt ist mit unbekanntem Parameter [mm] \lambda, [/mm] oder steckt noch mehr dahinter? Wie und wo kommt jetzt die Stichprobe ins Spiel, und was genau ist eigentlich ein Schätzer? Das hab ich noch nicht kapiert. Wär nett wenn jemand es mir anhand dieser Aufgabe erklären könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 18.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 So 16.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo ihr zwei,
@jumape: Angenommen, es gaebe einen e.t Schaetzer $g(X)$. Dann waere
[mm] $\sum_{x=0}^\infty g(x)\lambda^x\exp[-\lambda]/x!=\exp[-3\lambda]$ [/mm] fuer alle [mm] $\lambda>0$, [/mm] also
[mm] $\sum_{x=0}^\infty g(x)\lambda^x/x!=\exp[-2\lambda]=\sum_{x=0}^\infty (-2\lambda)^x/x!$. [/mm]
Ein Koeffizientenvergleich liefert [mm] $g(x)=(-2)^x$ [/mm] und
damit den Schaetzer [mm] $g(X)=(-2)^X$. [/mm] Wenn $X=3$ Unfaelle in
einer Woche in der Stadt passiere, so schaetzt man [mm] $\exp[-\lambda]$ [/mm] mit
[mm] $(-2)^3=-8$, [/mm] ein unsinniges Ergebnis.
@Julia: Aus der Beobachtung von X bedeutet, dass wenn $X=3$ Unfaelle in
einer Woche in der Stadt passierten, man auf [mm] $\exp[-\lambda]$
[/mm]
schliessen will.
Was eine Schaetzer ist, kann ich dir hier nicht erklaeren. Dazu muesste
ich zu weit ausholen, sorry.
vg Luis
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Ok, soweit logisch. Mein grundlegendes Problem was ein Schätzer ist, kann ich auch am Dienstag in der Übung klären.
Aber ich glaube, du hast dich verlesen, oder? Man soll doch die W'keit für 3 Wochen ohne Unfall schätzen, nicht für eine Woche mit 3 Unfällen.
Viele Grüße,
Julia
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Mir leuchtet gerade ein, der Beweis ist trotzdem richtig, nur dass man am Schluss argumentieren würde [mm] (g(0))³=(2^0)^3 [/mm] = 1, also dass Ergeignis, dass in den folgenden 3 Wochen kein Unfall geschieht würde sicher eintreten, was Quatsch ist. Richtig?
Viele Grüße,
Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 So 16.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Julia,
da muss ich wohl doch noch etwas zu Schaetzern sagen. Sie dienen dazu,
Ersatzwerte fuer Parameter(funktionen) zu finden. Sie kommen mit Hilfe
von Beobachtungen zustande. Stell dir eine Urne vor, in der sich rote
und gruene Kugeln befinden, aber du kennst das Mischverhaeltnis nicht.
Was ist eine geeignete Vorgehensweise, um den unbekannten Anteil p roter
Kugeln zu schaetzen? Z.B. koenntest du dich dazu entschliessen, zehnmal
mit Zuruecklegen hineinzugreifen und den Anteil der dabei gezogenenen
roten Kugeln als Ersatzwert zu verwenden. Dann ist der Schaetzer
gewissermassen diese Vorgehensweise (letztendlich eine Zufallsvariable
T). Werden unter den 10 gezogenen Kugeln 4 rote Kugeln dabei, so
verwendest du $4/10$ als Ersatzwert fuer p. Die Verteilung der
zugehoerigen Zufallsvariablen wird herangezogen, um Aussagen ueber die
Guete des Verfahrens zu machen, z.B. um zu klaeren, ob der Schaetzer (das
Verfahren) erwartungstreu sein.
In eurer Aufgabe soll ein e.t. Schaetzer gefunden werden fuer
[mm] $\exp[-3\lambda]$, [/mm] der auf einer *einzigen* Beobachtung $x=0,1,2,..beruht.
In der Loesung haben wir gesehen, dass dies [mm] $T=T(X)=(-2)^X$ [/mm] ist.
Besteht diese eine Beobachtung aus dem Wert $x=3$,
so nimmt T den Wert $-8$ als Erstazwert fuer [mm] $\exp[-3\lambda]$ [/mm] an.
vg
Luis
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Ok, was ein Schätzer ist ist jetzt klar. Trotzdem verstehe ich nicht, wie du auf x=3 kommst. T ist ja für alle Natürlichen Zahlen definiert, also auch für 3. Hast du hier irgendeinen Wert für x genommen, und P(X=0))³ nur für die Erwartungstreue benutzt? Dann müsste mein Lösungsweg ja richtig sein, aber wenn du sagst er ist definitiv falsch hab ich irgendwas doch noch nicht kapiert.
Danke schonmal, Deine Antwort hat mir schon ein Stück weitergeholfen!
Viele Grüße,
Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Mo 17.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Ok, was ein Schätzer ist ist jetzt klar. Trotzdem verstehe
> ich nicht, wie du auf x=3 kommst. T ist ja für alle
> Natürlichen Zahlen definiert, also auch für 3. Hast du hier
> irgendeinen Wert für x genommen, und P(X=0))³ nur für die
> Erwartungstreue benutzt?
Ja. Vielleicht war es ungeschickt $x=3$ als Beispiel zu waehlen.
Ich haette auch $x=1$ oder $x=2$ verwenden koennen. Dann
waere [mm] $T=(-2)^1=-2$ [/mm] bzw. [mm] $T=(-2)^2=4$, [/mm] beides unsinnige
Ersatzwerte fuer [mm] $P(X=0)^3$ [/mm] wegen [mm] $0\le P(X=0)^3\le [/mm] 1$.
vg Luis
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