erwartungstreuer Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Do 07.03.2013 | | Autor: | sladi23 |
| Aufgabe | Aufgabe:
Seien [mm] X_1, X_2,...,X_n [/mm] unabhängig, identisch verteilte reelwertige ZVen.
a) Bestimmen Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung an die Koeffizienten [mm] a_1, a_2,...a_n \el\ \IR [/mm] ,so daß [mm] Z:=\sum_{k=1}^{n} a_k *X_k [/mm] ein erwartungstreuer Schätzer für [mm] E(X_1) [/mm] ist.
b) Bestimmen Sie [mm] a_1, a_2,...a_n [/mm] , so dass der Schätzer Z aus a) erwartungstreu mit minimaler Varianz ist.
c) Nun sei n=2 und [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] seien unabhängig mit [mm] E(X_1)=E(X_2), [/mm] aber mit eventuell unterschiedlichen Varianzen [mm] (\sigma_1)^2 [/mm] , [mm] (\sigma_2)^2 [/mm] . Wie sind hier [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] in b) abhängig von [mm] (\sigma_1)^2 [/mm] , [mm] (\sigma_2)^2 [/mm] zu wählen, damit Z erwartungstreu mit minimaler Varianz ist. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: im Forum von matheplanet und dem Thema "notwendige und hinreichende Bedingung an Koeffizienten eines erwartungstreuen Schätzers"
Hallo ich lerne gerad für eine Klausur und bin bei alten Klausuren auf eine Aufgabe gestoßen. Hoffentlich kann mir jemand mal unter die Arme greifen. Ich schreibe erst einmal worum es geht und anschließend wie weit ich gekommen bin...
Also bei a) habe ich bis jetzt, dass E(Z) mir [mm] E(x_1) [/mm] als Ergebnis liefern muss. Da der Erwartungswert linear ist kann ich auch die Summe erstmal rausziehen. [mm] E(Z)=\sum_{k=1}^{n} a_k *X_k [/mm] schreiben.
Ausführlich geschrieben steht da:
E(Z)= [mm] E(a_1 X_1) [/mm] + [mm] E(a_2 X_2) [/mm] + ... + [mm] E(a_n X_n)
[/mm]
= [mm] a_1 E(X_1) [/mm] + ... + [mm] a_n E(X_n)
[/mm]
= [mm] E(X_1) [/mm] * [mm] \sum_{k=1}^{n} a_k [/mm] da die [mm] X_i [/mm] iid verteilt sind.
Damit müsste ich schon einmal die Summe über [mm] a_i [/mm] als 1 annehmen, damit ich einen erwartungstreuen Schätzer bekomme oder?!
Aber was kann ich hierbei als notwendig und hinreichend angeben? Die anderen Aufgabenteile kann man ja im Anschluss daran besprechen.
Danke für eure Hilfe und entschuldigt, wenn das mit dem Formeledit noch nich so klappen sollte...
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Hallo,
deine Rechnungen sind soweit richtig. Nun kannst du doch eine notwendige und hinreichende Bedingung angeben.
Wenn [mm] $\sum\limits_{j=1}^{n}a_{j}=1$ [/mm] dann......
Wenn [mm] $E(Z)=E(X_{1})$ [/mm] gilt, dann....
Beachte allerdings noch den Fall [mm] $E(X_{1})=0$. [/mm] Gibt es dann Einschränkungen an die [mm] $a_{j}$?
[/mm]
Das mit dem Formel editieren hast du doch schon ganz gut hinbekommen.
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Do 07.03.2013 | | Autor: | sladi23 |
Ok, danke bis hierhin.
notwendige Bedingung: [mm] \sum_{k=1}^{n} a_k [/mm] = 1 ist, dann ist E(Z) = [mm] E(X_1). [/mm]
hinreichende Bedingung: Wenn [mm] \sum_{k=1}^{n} a_k [/mm] = 1 und E(Z) = [mm] E(X_1) [/mm] gilt, so ist der Schätzer Z erwartungstreu für [mm] E(X_1). [/mm]
Für den Fall E( [mm] X_1) [/mm] = 0 bedeutet das, dass für alle i [mm] E(X_i) [/mm] = 0 gilt. Damit ist auch E(Z) = 0. Wie schränkt das meine [mm] a_j [/mm] ein? Die Summe darüber kann dann eigentlich alles sein. Ohne Einschränkungen. Stimmt das?
zu b)
Also wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstehe muss ich erstmal die Varianz des Schätzers (der ja eine ZVe darstellt) bestimmen.
Also: Var(Z) = [mm] E(Z^2) [/mm] - [mm] (E(Z))^2 [/mm]
Was mich gerad irritiert. Die [mm] X_i [/mm] sind reellwertig, läuft das dann über das Integral? Aber dann hätte ich ein Integral über eine Summe...hmm.
Also ich würd das jetzt so machen:
E(Z) = [mm] E(X_1) [/mm] * [mm] \sum_{k=1}^{n} a_k
[/mm]
Ach ne, ich darf ja voraussetzen, dass E(Z) erwartungstreu ist, also ist die Summe = 1.
E(Z) = [mm] E(X_1) [/mm]
Aber an dieser Stelle hänge ich, da ich keine Dichte von [mm] E(X_1) [/mm] kenne.
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Hallo,
> Ok, danke bis hierhin.
> notwendige Bedingung: [mm]\sum_{k=1}^{n} a_k[/mm] = 1 ist, dann ist
> E(Z) = [mm]E(X_1).[/mm]
Nein, die notwendige Bedingung lautet: [mm] E[X_1] [/mm] = 0 ODER [mm] $\sum_{k=1}^{n}a_k [/mm] = 1$.
> hinreichende Bedingung: Wenn [mm]\sum_{k=1}^{n} a_k[/mm] = 1 und
> E(Z) = [mm]E(X_1)[/mm] gilt, so ist der Schätzer Z erwartungstreu
> für [mm]E(X_1).[/mm]
Da brauchst du aber nicht $E(Z) = [mm] E(X_1)$ [/mm] als Voraussetzung.
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Meine Lösung zu a) hätte so ausgesehen:
$E[Z] = [mm] \left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right) \cdot E[X_1]$.
[/mm]
Damit:
$Z$ erwartungstreu für [mm] $E[X_1]$ \gdw [/mm] $E[Z] = [mm] E[X_1]$ \gdw [/mm] ( [mm] $E[X_1] [/mm] = 0$ oder [mm] $\sum_{k=1}^{n}a_k [/mm] = 1$ )
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> zu b)
>
> Also wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstehe muss
> ich erstmal die Varianz des Schätzers (der ja eine ZVe
> darstellt) bestimmen.
Ja.
> Also: Var(Z) = [mm]E(Z^2)[/mm] - [mm](E(Z))^2[/mm]
Genau!
> Was mich gerad irritiert. Die [mm]X_i[/mm] sind reellwertig, läuft
> das dann über das Integral? Aber dann hätte ich ein
> Integral über eine Summe...hmm.
Nein, da du die Verteilung von den [mm] $X_i$ [/mm] ohnehin nicht kennst, sollst du hier nur Rechenregeln für Varianz und Erwartungswert benutzen.
> Also ich würd das jetzt so machen:
> E(Z) = [mm]E(X_1)[/mm] * [mm]\sum_{k=1}^{n} a_k[/mm]
> Ach ne, ich darf ja
> voraussetzen, dass E(Z) erwartungstreu ist, also ist die
> Summe = 1.
Die Summe ist nicht unbedingt = 1 (siehe oben es könnte auch [mm] $E[X_1] [/mm] = 0$ sein), aber auf jeden Fall gilt:
> E(Z) = [mm]E(X_1)[/mm]
Ja.
Du machst es dir hier ein bisschen schwer. Benutze doch die Rechenregeln für die Varianz: $Var(aY + b) = [mm] a^2 [/mm] Var(Y)$ für Konstanten a,b und Zufallsvariablen Y. Außerdem [mm] $Var(Y_1 [/mm] + [mm] Y_2) [/mm] = [mm] Var(Y_1) [/mm] + [mm] Var(Y_2)$ [/mm] falls [mm] $Y_1,Y_2$ [/mm] unabhängig sind.
Damit hast du:
$Var(Z) = [mm] \left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right) \cdot \Var(X_1)$.
[/mm]
Fall 1: [mm] $E[X_1] [/mm] = 0$. Dann kann man [mm] $a_i [/mm] = 0$ wählen (also Z = 0).
Fall 2: [mm] $E[X_1]\not= [/mm] 0$. Dann lautet das Optimierungsproblem (beachte [mm] $Var(X_1) \ge [/mm] 0$):
Minimiere [mm] $\sum_{k=1}^{n}a_k^2$ [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] $\sum_{k=1}^{n}a_k [/mm] = 1$.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 Fr 08.03.2013 | | Autor: | sladi23 |
Ok, vielen Dank. a) hat sich damit erledigt. Das kann ich alles nachvollziehen.
Hast du bei der b) nach der Summe [mm] Var(X_1) [/mm] gemeint? Wenn ich alles die Gleichung für Var(Z) nach den Rechenregeln umforme, dann bleibt bei mir die Summe und Var [mm] (X_1) [/mm] übrig.
Anschließend kommt die Fallunterscheidung. Und dann [mm] \sum_{k=1}^{n} (a_k)^2 [/mm] = [mm] \frac{n \cdot (n+1) \cdot (2n +1)}{6}. [/mm] Wobei, wenn ich noch einmal drüber nachdenk, kann das nicht passen, da [mm] a_k \in \IR [/mm] ist. Es muss heißen:
[mm] \sum_{k=1}^{n} (a_k)^2 [/mm] = [mm] (a_1)^2+...+(a_n)^2 \in \IR
[/mm]
Und das ist nicht der Bruch oben. Der gilt ja nur für k [mm] \in \IN [/mm] oder?!
Vielleicht ist es einfach besser morgen noch einmal nach zu denken.
Danke soweit und Gute Nacht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Fr 08.03.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Varianz der Größe [mm] Z=a_1*X_1+a_2*X_2 [/mm] mit [mm] E\left(X_1\right)=E\left(X_2\right) [/mm] und Varianzen [mm] \sigma_1^2 [/mm] und [mm] \sigma_2^2 [/mm] ergibt sich zu
[mm] Var(Z)=a_1^2\cdot\sigma_1^2+a_2^2*\sigma_2^2 [/mm] wegen der Unabhängigkeit der Größen [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2
[/mm]
Nun ist diese Gleichung für [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] a_1+a_2=1 [/mm] zu miminimieren
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:17 Sa 09.03.2013 | | Autor: | sladi23 |
Ok, ich wenn ich das richtig gerechnet habe, dann müsste Folgendes stimmen:
Var(Z) = [mm] a_1^2 \cdot \sigma_1^2 [/mm] + [mm] a_2^2 \cdot \sigma_2^2 [/mm]
[da [mm] a_^1+a_2 [/mm] = 1 ist [mm] a_1^2 [/mm] + [mm] a_2^2 [/mm] = [mm] a_1^2 [/mm] + [mm] (1-2a_1+a_1^2) [/mm] ]
= [mm] a_1^2 \cdot \sigma_1^2 [/mm] + [mm] (1-2a_1+a_1^2) \cdot \sigma_2^2
[/mm]
= ... = [mm] a_1^2 (\sigma_1^2 [/mm] + [mm] \sigma_2^2) [/mm] - [mm] 2a_^1\sigma_1^2 [/mm] + [mm] \sigma_1^2
[/mm]
Ich leite jetzt nach [mm] a_1 [/mm] ab. Das Ergebnis liefert:
[mm] a_1=\frac{\sigma_1^2}{\sigma_1^2 + 2\sigma_2^2}
[/mm]
Aus der Summe [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] = 1 folgt [mm] a_2 [/mm] = [mm] \frac{2\sigma_2^2}{\sigma_1^2 + 2\sigma_2^2}. [/mm]
Ist das soweit richtig?
Die 2. Ableitung ist [mm] 2(\sigma_1^2 [/mm] + 2 [mm] \sigma_2^2) [/mm] > 0. Somit immer Minimum.
Wenn ich dieses Vorgehen aber auf den Aufgabenteil b) anwende für [mm] \sum_{k=1}^{n} a_k^2 [/mm] , dann wird die Rechnung bißchen ausführlicher. Dann kann ich das nicht mehr so einfach nach einem [mm] a_i [/mm] ableiten. Ich kenn ja schlecht jedes [mm] a_j (j\not=1) [/mm] durch [mm] a_1 [/mm] ausdrücken. Das muss doch noch einfacher gehen.
Danke für eure Hilfe bis hierher schon einmal...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Sa 09.03.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Ok, ich wenn ich das richtig gerechnet habe, dann müsste
> Folgendes stimmen:
> Var(Z) = [mm] a_1^2 \cdot \sigma_1^2 [/mm] + [mm] a_2^2 \cdot \sigma_2^2 [/mm]
> da [mm] a_1+a_2 [/mm] = 1 ist [mm] a_1^2 [/mm] + [mm] a_2^2 [/mm] = [mm] a_1^2 [/mm] + [mm] (1-2a_1+a_1^2)
[/mm]
Das braucht man nicht, oder wo verwendest Du das?
> = [mm] a_1^2 \cdot \sigma_1^2 [/mm] + [mm] (1-2a_1+a_1^2) \cdot \sigma_2^2
[/mm]
>
> = ... = [mm] a_1^2 (\sigma_1^2 [/mm] + [mm] \sigma_2^2) [/mm] - [mm] 2a_1\sigma_1^2 [/mm] + [mm] \sigma_1^2
[/mm]
Das stimmt nicht, richtig ist [mm] a_1^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)-2a_1\sigma_2^2+\sigma_2^2
[/mm]
> Ich leite jetzt nach [mm]a_1[/mm] ab. Das Ergebnis liefert:
> [mm]a_1=\frac{\sigma_1^2}{\sigma_1^2 + 2\sigma_2^2}[/mm]
Das stimmt nicht, richtig ist [mm] a_1=\bruch{\sigma_2^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
[/mm]
> Aus der Summe [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] = 1 folgt [mm] a_2 [/mm] = [mm] \frac{2\sigma_2^2}{\sigma_1^2 + 2\sigma_2^2} [/mm]
Hier mit den neuen Ergebnissen nochmal rechnen
> Ist das soweit richtig?
> Die 2. Ableitung ist [mm]2(\sigma_1^2[/mm] + 2 [mm]\sigma_2^2)[/mm] > 0.
> Somit immer Minimum.
Auch hier mit den neuen Ergebnissen neu rechnen
> Wenn ich dieses Vorgehen aber auf den Aufgabenteil b)
> anwende für [mm]\sum_{k=1}^{n} a_k^2[/mm] , dann wird die Rechnung
> bißchen ausführlicher. Dann kann ich das nicht mehr so
> einfach nach einem [mm]a_i[/mm] ableiten. Ich kenn ja schlecht jedes
> [mm]a_j (j\not=1)[/mm] durch [mm]a_1[/mm] ausdrücken. Das muss doch noch
> einfacher gehen.
> Danke für eure Hilfe bis hierher schon einmal...
Hier würde ich anders vorgehen. Definiere die Funktion [mm] f(a_1, [/mm] ... , [mm] a_n) [/mm] als
[mm] f(a_1, [/mm] ... , [mm] a_n)=\summe_{k=1}^{n}a_k^2 [/mm] und die Funktion [mm] g(a_1, [/mm] ... , [mm] a_n) [/mm] als
[mm] g(a_1, [/mm] ... [mm] a_n)=\summe_{k=1}^{n}a_k-1
[/mm]
und löse das Minimierungsproblem [mm] f(a_1, [/mm] ... [mm] a_n) [/mm] -> Minimal unter der Nebenbedingung
[mm] g(a_1, [/mm] ... , [mm] a_n)=0 [/mm] nach der Methode von Lagrange, s. ![[]](/images/popup.gif) Lagrange Multiplikator
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Sa 09.03.2013 | | Autor: | sladi23 |
Vielen Dank für die Antwort. Die Rechenfehler sind ausgebügelt...Der Rechenweg bei b) hat es in sich, aber ist im Prinzip klar, was gemeint ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Sa 09.03.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
dann schreib doch mal Deine Lösung, es ist nicht wirklich schwer. Die Lösung passt auf eine halbe DIN A4 Seite. Ich kann Dir ja das Resultat mal verraten.
Teil b) [mm] a_k=\bruch{1}{n}
[/mm]
Teil c) [mm] a_1=\bruch{\sigma_2^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
[/mm]
[mm] a_2=\bruch{\sigma_1^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Sa 09.03.2013 | | Autor: | sladi23 |
Also wenn ich deinem Link folge betrachte ich zuerst
[mm] f(a_1,...a_n) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n} a_k^2 [/mm]
und
[mm] g(a_1,...a_n) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n} a_k [/mm] -1
Nun kommt der Nabla:
[mm] \nabla_{a_1,...a_n} g(a_1,...a_n) [/mm] = [mm] (\frac{\partial g}{\partial a_1},...,\frac{\partial g}{\partial a_n}) [/mm] = (1,..,1) [n Einträge]
Jetzt kommt die Lagrangefunktion:
[mm] \Lambda(a_1,...a_n,\lambda) [/mm] = [mm] f(a_1,...a_n) [/mm] + [mm] \lambda \cdot (g(a_1,...a_n))
[/mm]
= [mm] a_1^2+...+a_n^2 [/mm] + [mm] \lambda (a_1 [/mm] + ... + [mm] a_n) [/mm] - [mm] \lambda
[/mm]
Die wird jetzt partiell nach [mm] a_i [/mm] abgeleitet:
Also [mm] (\frac{\partial \Lambda}{a_1}, [/mm] ..., [mm] \frac{\partial \Lambda}{a_n}, \frac{\Lambda}{d\lambda}) [/mm] = [mm] (2a_1 [/mm] + [mm] \lambda, [/mm] ..., [mm] 2a_n [/mm] + [mm] \lambda, \sum_{k=1}^{n} a_k [/mm] - 1) soll gleich (0,...,0) sein um das Minimum zu finden.
Das liefert mir [mm] (a_1,...a_n) [/mm] = [mm] (-\frac{\lambda}{2}, ...,-\frac{\lambda}{2})
[/mm]
Das wird jetzt in die letzte Gleichung von [mm] \frac{\Lambda}{d\lambda} [/mm] eingesetzt:
Das liefert mir [mm] \frac{-\lambda}{2}- [/mm] ...- [mm] \frac{-\lambda}{2} [/mm] - 1 = [mm] \frac{-n\lambda}{2} [/mm] - 1 = 0
Also [mm] \lambda [/mm] = [mm] \frac{-2}{n} [/mm]
Also im Ansatz ähnlich zu deinem Ergebnis. (bis auf den Faktor -2...)
Wo ist hier mein Denk/Rechenfehler?!
Abgesehen davon, muss ich feststellen,dass das eine bescheidene StochastikKlausuraufgabe ist. Das ist doch mehr analytisch rumrechnen und hat weniger mit der Stochastik zu tun, außer dem Begriff Varianz hier... Nicht mal im Ansatz haben wir sowas in der Stochivorlesung gemacht.
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Hallo,
> Also wenn ich deinem Link folge betrachte ich zuerst
> [mm]f(a_1,...a_n)[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^{n} a_k^2[/mm]
> und
> [mm]g(a_1,...a_n)[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^{n} a_k[/mm] -1
> Nun kommt der Nabla:
> [mm]\nabla_{a_1,...a_n} g(a_1,...a_n)[/mm] = [mm](\frac{\partial g}{\partial a_1},...,\frac{\partial g}{\partial a_n})[/mm]
> = (1,..,1) [n Einträge]
>
> Jetzt kommt die Lagrangefunktion:
> [mm]\Lambda(a_1,...a_n,\lambda)[/mm] = [mm]f(a_1,...a_n)[/mm] + [mm]\lambda \cdot (g(a_1,...a_n))[/mm]
>
> = [mm]a_1^2+...+a_n^2[/mm] + [mm]\lambda (a_1[/mm] + ... + [mm]a_n)[/mm] - [mm]\lambda[/mm]
>
> Die wird jetzt partiell nach [mm]a_i[/mm] abgeleitet:
> Also [mm](\frac{\partial \Lambda}{a_1},[/mm] ..., [mm]\frac{\partial \Lambda}{a_n}, \frac{\Lambda}{d\lambda})[/mm]
> = [mm](2a_1[/mm] + [mm]\lambda,[/mm] ..., [mm]2a_n[/mm] + [mm]\lambda, \sum_{k=1}^{n} a_k[/mm]
> - 1) soll gleich (0,...,0) sein um das Minimum zu finden.
> Das liefert mir [mm](a_1,...a_n)[/mm] = [mm](-\frac{\lambda}{2}, ...,-\frac{\lambda}{2})[/mm]
>
> Das wird jetzt in die letzte Gleichung von
> [mm]\frac{\Lambda}{d\lambda}[/mm] eingesetzt:
> Das liefert mir [mm]\frac{-\lambda}{2}-[/mm] ...-
> [mm]\frac{-\lambda}{2}[/mm] - 1 = [mm]\frac{-n\lambda}{2}[/mm] - 1 = 0
> Also [mm]\lambda[/mm] = [mm]\frac{-2}{n}[/mm]
> Also im Ansatz ähnlich zu deinem Ergebnis. (bis auf den
> Faktor -2...)
Es ist alles richtig, du hast nur noch nicht die [mm] $a_i$ [/mm] ausgerechnet, sondern [mm] $\lambda$.
[/mm]
Du hast [mm] $a_i [/mm] = [mm] -\frac{\lambda}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$.
[/mm]
> Abgesehen davon, muss ich feststellen,dass das eine
> bescheidene StochastikKlausuraufgabe ist. Das ist doch mehr
> analytisch rumrechnen und hat weniger mit der Stochastik zu
> tun, außer dem Begriff Varianz hier... Nicht mal im Ansatz
> haben wir sowas in der Stochivorlesung gemacht.
Ja, da hast du recht. Aber die Rechenregeln für Varianz / Erwartungswert sind hier drangekommen, und die sind wichtig.
Viele Grüße,
Stefan
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