erwartungtreuer Schätzer kov < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Fr 28.11.2008 | | Autor: | pokermoe |
| Aufgabe | Es seien [mm] X_1,...,X_n [/mm] unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen in [mm] L^2 [/mm] und mit Werten in [mm] /R^n. [/mm] Man zeige , dass der folgende Schätzer für die Kovarianzmatrix ein erwartungstreuer Schätzer ist :
[mm] (1/n-1)*\summe_{k=1}^{n} [/mm] (X_ki-X´_.i)(X_kj-X´_.j)
mit [mm] X´_.i=1/n*\summe_{k=1}^{n} [/mm] X_ki |
Hallo
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ?!
man muss ja zeigen , dass der Erwartungswert des angegebenen
Schätzers die Kovarianzmatrix selbst ist !
Es ist doch [mm] X_i=(X_i1,....,X_in) [/mm] , oder ?
Wie sieht dann eine Kovarianzmatrix der X-i aus ?
Wie kann man den EW des oben Angegebenen berechenen ?
Wäre dankbar über Hilfe !
Gruß mOe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 Sa 29.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin pokermoe,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Schau mal in ein vernuenftiges Buch zur multivariaten Statistik, z.B.
@BOOK{Mardia79,
title = {Multivariate Analysis},
publisher = {Academic Press},
year = {1979},
author = {K.V. Mardia and J.T. Kent and J.M. Bibby},
address = {London, San Diego}
}
Seite 50
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Sa 29.11.2008 | | Autor: | pokermoe |
Hallo
danke erstmal für diesen tipp...(hab das buch leider nicht da und die bib is bis mo zu!)
wegen der linearität des erwartungswerts reicht es doch zu zeigen ,
dass [mm] \summe_{i=1}^{n}E(...)*(....)=(n-1)*cov(X_i [/mm] ,X_ j) , oder ? denn der ij-te eintrag der kovarianzmatrix ist ja gerade die Kovarianz von [mm] X_i [/mm] und X_ j.
Ich habe Probleme beim Auflösen der Klammern im Erwartungswert....
Kann mir dabei jemand weiterhelfen ?!
Grüße mOe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Sa 29.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Ich nenne die n unabhaengigen Zufallsvektoren
[mm] $\mathbf{x}_{(1)},\dots,\mathbf{x}_{(n)}$ [/mm] (muessen das n-Elementige
Vektoren sein? Ich meine die koennen allgemeiner p Komponenten
aufweisen...) Ferner sei [mm] $\mathbf{\mu}$ [/mm] der
Erwartungswertevektor und [mm] $\mathbf{\Sigma}$
[/mm]
die Varianz-Kovarianz-Matrix von [mm] $\mathbf{x}_{(i)}$.
[/mm]
Setze
[mm] \begin{matrix}
\mathbf{S}
&=&\mathbf{S}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\mathbf{x}_{(i)}-\bar{\mathbf{x}})(\mathbf{x}_{(i)}-\bar{\mathbf{x}})' \\
&=&\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbf{x}_{(i)}\mathbf{x}_{(i)}'-\bar{\mathbf{x}}\bar{\mathbf{x}}' \\
&=&\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\mathbf{x}_{(i)}-\mathbf{\mu})(\mathbf{x}_{(i)}-\mathbf{\mu})'-(\bar{\mathbf{x}}-\mathbf{\mu})(\bar{\mathbf{x}}-\mathbf{\mu})' \\
&=&\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}\right)\sum_{i=1}^n(\mathbf{x}_{(i)}-\mathbf{\mu})(\mathbf{x}_{(i)}-\mathbf{\mu})'-\dfrac{1}{n^2}(\bar{\mathbf{x}}-\mathbf{\mu})(\bar{\mathbf{x}}-\mathbf{\mu})' \\
\end{matrix}
[/mm]
Berechne nun [mm] $\operatorname{E}[\mathbf{S}]$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 So 30.11.2008 | | Autor: | pokermoe |
Hallo
erst einmal vielen Dank für die Bemühungen ....!
Ja, du hast Recht, es können auch Werte im [mm] /R^p [/mm] sein, aber bei mir steht [mm] /R^n [/mm] in der Aufgabe.
Ich verstehe nicht ganz wo das S herkommt und was es ist .
Wie ist das überstrichene x definiert ? Muss ja ein Vektor sein, oder ?
Ich gehe davon aus , dass x' der transponierte Vektor x ist ...
Wäre nett wenn jemand meine Wissenslücken schließen könnte ;)
Gruß mOe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 So 30.11.2008 | | Autor: | luis52 |
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> Hallo
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> erst einmal vielen Dank für die Bemühungen ....!
>
> Ja, du hast Recht, es können auch Werte im [mm]/R^p[/mm] sein, aber
> bei mir steht [mm]/R^n[/mm] in der Aufgabe.
> Ich verstehe nicht ganz wo das S herkommt und was es ist
Du beschreibst die Schaetzer wie folgt:
[mm] \frac{1}{n-1}\summe_{k=1}^{n} (X_{ki}-X_{.i}') (X_{kj}-X_{.j}')
[/mm]
mit [mm] X_{.i}'=1/n\summe_{k=1}^{n} X_{ki }
[/mm]
(bitte editiere die Formeln etwas sorgfaeltiger...)
Was sind das fuer Masszahlen? Wenn eine Datenmatrix [mm] \mathbf{X} [/mm] mit n Zeilen und p Spalten (!) so handelt es sich um die empirische Kovarianz [mm] \hat\sigma_{ij} [/mm] zwischen den Spalten i und j fuer [mm] i\ne [/mm] j bzw die Stichprobenvarianz [mm] \hat\sigma_{ii} [/mm] der i-ten Spalten fuer i=j.
Alternativen sind
[mm] s_{ij}=\frac{1}{n-1}\summe_{k=1}^{n} (X_{ki}-X_{.i}') (X_{kj}-X_{.j}')
[/mm]
die in der Matrix [mm] $\mathbf{S}=(s_{ij})$ [/mm] zusammengefasst werden. *Deine* Aufgabe besteht darin zu zeigen, dass [mm] $\mathbf{\Sigma}=(\hat\sigma_{ij})$
[/mm]
erwartungstreu ist fuer [mm] $\mathbf{\Sigma}$.
[/mm]
[mm] \bar{\mathbf{x}} [/mm] bezeichnet den Vektor der p arithmetischen Mittel, in deiner Notation [mm] \bar{\mathbf{x}}=(X_{.1}',\dots,X_{.p}')' [/mm] (Vorsicht: Notationsproblem!)
vg Luis
> .
> Wie ist das überstrichene x definiert ? Muss ja ein Vektor
> sein, oder ?
> Ich gehe davon aus , dass x' der transponierte Vektor x
> ist ...
>
> Wäre nett wenn jemand meine Wissenslücken schließen könnte
> ;)
>
> Gruß mOe
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Mo 01.12.2008 | | Autor: | pokermoe |
Hallo
erst mal danke für die rasche antwort.
ich weiß was S ist und woher es kommt.
nun habe ich versucht E(S) zu berechenen und bin auf neue hindernisse gestoßen......ich kann in der 2. antwort die letzte gleichheit nicht sehen, was wurde da gemacht ?
wegen der linearität des EW muss man dann ja soetwas wie
[mm] E((x_i-\mu)(x_i-\mu)') [/mm] berechnen.
Wie macht man das? ist das [mm] Var(x_i) [/mm] ?
das ziel ist es doch zu zeigen dass der erwartungswert von S die "echte"
Kovarianzmatrix [mm] \summe [/mm] ist , oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mo 01.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> ich weiß was S ist und woher es kommt.
> nun habe ich versucht E(S) zu berechenen und bin auf neue
> hindernisse gestoßen......ich kann in der 2. antwort die
> letzte gleichheit nicht sehen, was wurde da gemacht ?
Sorry, die Gleichung lautet:
$ [mm] \begin{matrix} \mathbf{S} &=&\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\mathbf{x}_{(i)}-\bar{\mathbf{x}})(\mathbf{x}_{(i)}-\bar{\mathbf{x}})' \\ &=&\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbf{x}_{(i)}\mathbf{x}_{(i)}'-\bar{\mathbf{x}}\bar{\mathbf{x}}' \\ &=&\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\mathbf{x}_{(i)}-\mathbf{\mu})(\mathbf{x}_{(i)}-\mathbf{\mu})'-(\bar{\mathbf{x}}-\mathbf{\mu})(\bar{\mathbf{x}}-\mathbf{\mu})' \\ &=&\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}\right)\sum_{i=1}^n(\mathbf{x}_{(i)}-\mathbf{\mu})(\mathbf{x}_{(i)}-\mathbf{\mu})'-\dfrac{1}{n^2}\sum_{i\ne j}(\mathbf{x}_{(i)}-\mathbf{\mu})(\mathbf{x}_{(j)}-\mathbf{\mu})'\\ \end{matrix} [/mm] $
> wegen der linearität des EW muss man dann ja soetwas wie
> [mm]E((x_i-\mu)(x_i-\mu)')[/mm] berechnen.
> Wie macht man das? ist das [mm]Var(x_i)[/mm] ?
> das ziel ist es doch zu zeigen dass der erwartungswert von
> S die "echte"
> Kovarianzmatrix [mm]\summe[/mm] ist , oder ?
Ja, bitte versuche mit der korrigierten Formal noch einmal.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Mo 01.12.2008 | | Autor: | pokermoe |
Hallo
Ixch habe jetzt mal die Matrix mit der korrigierten Formel aufgeschrieben.
Ich poste sie mal um zu schauen ob das so richtig ist:
[mm] S=\summe_{i=1}^{n} \pmat{1/n^2 (x_i1-\mu_i1)*((n-1)(x_i1-\mu_i1)-(x_j1-\mu_j1)) & \ldots & 1/n^2 (x_in-\mu_in)*((n-1)(x_i1-\mu_i1)-(x_j1-\mu_j1)) \\ \vdots \\ 1/n^2 (x_in- \mu_in)*((n-1)(x_i1-\mu_i1)-(x_j1-\mu_j1)) & \ldots & 1/n^2 (x_in-\mu_in)*((n-1)(x_in-\mu_in)-(x_jn-\mu_jn)}
[/mm]
Ich habe die Erwartungswertevektoren zur sicherheit mit doppelindex versehen....
Ist das richtig so ?
Wie kann ich jetzt den Erwartungswert(EW) dieser matrix berechnen?
es reicht ja einen eintrag der matrix zu betrachten, oder ?
und der EW dieses eintrags , sagen wir der k,L-te eintrag muss doch dann
[mm] Cov(X_k [/mm] , [mm] X_L) [/mm] lauten ?!
Ich sehe nicht ganz wie ich den EW eines eintrags berschne.
muss ich irgendwie die Unabhängigkeit aunutzen , wenn ja wie ?
Sind alle x_gh von allen x_kf mit [mm] (g,h)\not=(k,f) [/mm] ?
Wäre nett wenn mir jemand auf die sprünge helfen ,und falls etwas falsch ist verbessern könnte.....
lg mOe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Mo 01.12.2008 | | Autor: | luis52 |
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> Wäre nett wenn mir jemand auf die sprünge helfen ,und falls
> etwas falsch ist verbessern könnte.....
>
Das ist viel zu kompliziert. Nutze die Form ![[]](/images/popup.gif) hier (As a generalization of the variance)
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Mo 01.12.2008 | | Autor: | pokermoe |
Hallo
Also steht da dann doch :
[mm] E(S)=1/n^2((n-1)*\summe_{i=1}^{n}Var(X_i)-\summe_{i=1}^{n}Cov(X_i,X_j) [/mm] ) ???
WIe kann man die gleichheit mit meiner Formel sehen ?
Irgendwie steh ich gerad aufm schlauch !
lg mOe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Mo 01.12.2008 | | Autor: | pokermoe |
Hallo
kann man ausnutzen dass die [mm] X_i [/mm] unabhängig sind ? gilt dann
[mm] Cov(X_I,X_j)=0 [/mm] für [mm] i\not=j [/mm] ?
dann würde der hintere ausdruck ja wegfallen......
irgendwie habe ich das gefühl mich nur im kreis zu drehen :( !
aber wie kann man sonst E(S) berechnen ?
lg mOe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Mo 01.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> -
> Hallo
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> kann man ausnutzen dass die [mm]X_i[/mm] unabhängig sind ? gilt dann
> [mm]Cov(X_I,X_j)=0[/mm] für [mm]i\not=j[/mm] ?
> dann würde der hintere ausdruck ja wegfallen......
Na klar.
> irgendwie habe ich das gefühl mich nur im kreis zu drehen
> :( !
> aber wie kann man sonst E(S) berechnen ?
>
> lg mOe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mo 01.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> -
> Hallo
>
> Also steht da dann doch :
>
> [mm]E(S)=1/n^2((n-1)*\summe_{i=1}^{n}Var(X_i)-\summe_{i=1}^{n}Cov(X_i,X_j)[/mm]
> ) ???
>
> WIe kann man die gleichheit mit meiner Formel sehen ?
[mm] \operatorname{Var}[\mathbf{x}_{(i)}]=\mathbf{\Sigma} [/mm] fuer alle i!
> Irgendwie steh ich gerad aufm schlauch !
> lg mOe
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mo 01.12.2008 | | Autor: | pokermoe |
Hallo
Danke für die Geduld....!
wenn ich die bisher genannten sachen benutze , so bekomme ich :
[mm] E(S)=(n-1)/n*\summe_
[/mm]
ist das so richtig ?
bin ich damit fertig ?
wieso steht da jetzt noch ein 1/n dabei , habe ich etwas falsch gemacht ?
grußß mOe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Mo 01.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich muss mich nochmals entschuldigen, denn vielleicht habe ich deine
Verwirrung verursacht. Also: Wir unterscheiden zwei Schaetzer:
$\hat{\mathbf{\Sigma}}=(\hat{\sigma}_{ij})$, $\hat{\sigma}_{ij}=\frac{1}{n-1}\summe_{k=1}^{n} (X_{ki}-X_{.i}') (X_{kj}-X_{.j}')$
und
$\mathbf{S}=(s_{ij})$, $s_{ij}=\frac{1}{n}\summe_{k=1}^{n} (X_{ki}-X_{.i}') (X_{kj}-X_{.j}')$
*Wir* haben fuer $\mathbf{S}$ argumentiert, und es zeigt sich, dass
$\operatorname{E}[\mathbf{S}]=(n/(n-1)}\mathbf{\Sigma}$. Was gilt dann fuer $\operatorname{E}[\hat{\mathbf{\Sigma}}]$?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Di 02.12.2008 | | Autor: | pokermoe |
Hallo
Ja, dann macht es sinn.....ich dachte S und das überdachte sigma wären als das gleiche definiert !
aber so passt ja dann alles.
Also nochmal vielen dank für die Bemühungen !
schöne woche ! mOe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Di 02.12.2008 | | Autor: | moody |
Hallo,
du kannst auch Mitteilungen schreiben, auf diese wird dann keine Reaktion erwartet und die Frage wird nicht als offen markiert.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Di 02.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> aber so passt ja dann alles.
> Also nochmal vielen dank für die Bemühungen !
Gerne.
>
> schöne woche ! mOe
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Das wuensche ich dir auch.
vg Luis
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