erweiterte dreiecksungleichung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 So 23.10.2005 | | Autor: | myro |
ich muss für die uni eine aufgabe lösen und komme nicht auf den ansatz. Aufgabenstellung:
für alle reellen zahlen a und b gilt:
(|a+b|) / (1+|a+b|) <= |a| / (1+|a|) + |b| / (1+|b|)
und ich soll das indirekt beweisen. ist damit gemeint, dass ich probieren soll, dass für rationale zahlen zu lösen und zeigen, dass es nicht funktioniert, oder das ungleichungszeichen umdrehen? auch ein genereller ansatz würde mir sehr helfen.
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
myro
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Hallo myro,
ich finde komischerweise die Aufgabe nicht sehr schwer und man kann sie mit Hilfe von einfachen Gleichungsumstellen lösen.
Ich poste einfach mal ein wenig Schritte zur Lösung, du solltest es aber dann nochmal selber nachrechnen.
[mm] \bruch{\left| a+b \right|}{1+\left| a+b \right|} \le \bruch{\left| a \right|}{1+\left| a \right|} + \bruch{\left| b \right|}{1+\left| b \right|} [/mm]
[mm] \bruch{\left| a+b \right|}{1+\left| a+b \right|} \le \bruch{\left| a \right| + \left| b \right| + \left| 2ab \right|}{1 + \left| a \right| + \left| b \right| + \left| ab \right|} [/mm]
Ich bin so fortgefahren, dass ich die Brüche durch multiplizieren weggemacht habe, dann erhälst du zwar eine ziemlich lange Ungleichung, es lässt sich jedoch durch Vergleich der Summanden auf beiden Seiten schnell beweisen, dass die Ungleichung gilt:
Dabei solltest du z.B. beachten, dass gilt:
[mm] \left| a+b \right| \le \left| a \right| +\left| b \right| [/mm]
Auf diese Art "verkleinerst" du die Ungleichung und bei mir blieb am Ende übrig:
[mm] 0 \le \left| 2ab \right| [/mm]
Was ja trivialerweise richtig ist, somit hast du dann die Ungleichung bewiesen.
Ich denke schon, dass man es so machen kann, ein schönerer Beweis ist mir im Moment nicht eingefallen. Wenn das noch jemand anders beweisen kann, wäre ich auch sehr interessiert.
Viele Grüße info-tronic
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