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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion einer negativen Binomialverteilung gegeben ist durch
[mm] G_{X}(t)=\left(\bruch{\theta*t}{1-(1-\theta)*t}\right)^n
[/mm]
[mm] \theta [/mm] ist hier die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg. |
Hi,
also die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist ja gegeben durch:
[mm] f_{X}(x)=\vektor{x-1 \\ n-1}*\theta^{n}*(1-\theta)^{x-n} [/mm] x=n,n+1,n+1,...
die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist dann definiert als:
[mm] G_{X}(t)=\summe_{n=0}^{x}t^{x}*f_{X}(x)
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{x}\vektor{x-1 \\ n-1}*\theta^{n}*(1-\theta)^{x-n}*t^{x}
[/mm]
schon bei der summe bin ich mir nicht ganz sicher wie laufindex und obere grenze zu wählen sind...
So wie das Ergebnis aussieht, wurde da irgendwo eine geometrische Reihe und ein binomischer Lehrsatz in abgewandelter Form.
Ich habe aber nicht die leiseste Ahnung wo ich anfangen soll...
Lg
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Hallo!
> Zeigen Sie, dass die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion
> einer negativen Binomialverteilung gegeben ist durch
>
> [mm]G_{X}(t)=\left(\bruch{\theta*t}{1-(1-\theta)*t}\right)^n[/mm]
>
> [mm]\theta[/mm] ist hier die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg.
> Hi,
>
> also die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist ja gegeben durch:
>
> [mm]f_{X}(x)=\vektor{x-1 \\ n-1}*\theta^{n}*(1-\theta)^{x-n}[/mm]
> x=n,n+1,n+1,...
>
> die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist dann
> definiert als:
>
> [mm]G_{X}(t)=\summe_{n=0}^{x}t^{x}*f_{X}(x)[/mm]
> [mm]=\summe_{n=0}^{x}\vektor{x-1 \\ n-1}*\theta^{n}*(1-\theta)^{x-n}*t^{x}[/mm]
Das Problem ist, dass du überhaupt nicht weißt, welcher Index wohin gehört.
Dadurch ist es dir unmöglich, einen klaren Gedanken zu fassen.
Wenn du Definitionen klar durchgehst, eröffnet sich eigentlich alles von selbst:
Die Definition der negativen Binomialverteilung mit Parametern n und p lautet:
$P(X = k) = [mm] \vektor{k-1\\n-1}*p^{n}*(1-p)^{k-n}$
[/mm]
Dabei ist [mm] $k\in\{n,n+1,...\}$!
[/mm]
Entsprechend lautet die erzeugende Funktion:
[mm] $\sum_{k=n}^{\infty}t^{k}*P(X=k)$
[/mm]
Nun setze für P(X=k) die Zähldichte von oben ein, und überlege erstmal, was du dann alles aus der Summe herausziehen kannst!
(Alles was nicht von k abhängt, kannst du rausziehen)
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
danke für Antwort !
In der Tat habe ich so meine Probleme mit Summenzeichen (schon immer gehabt...) und kriege das irgendwie nie in den Griff. Immer wenn ich glaube es einigermaßen zu verstehen, kommt etwas wo ich mir wieder denke "was zur Hölle ist das denn nun wieder...". Kennst du vielleicht ein Skript / Buch wo es ein gutes Kapitel dazu gibt ?
Zurück zur Aufgabe:
Die erzeugende Funktion ist also definiert als:
$ [mm] \sum_{x=n}^{\infty}t^{x}\cdot{}P(X=x) [/mm] $
einsetzen liefer also:
$ [mm] \sum_{x=n}^{\infty}t^{x}\vektor{x-1 \\ n-1}\cdot{}\theta^{n}\cdot{}(1-\theta)^{x-n} [/mm] $
Demnach könnte ich hier also [mm] \left(\bruch{\theta}{1-\theta}\right)^n [/mm] aus der Summe ziehen:
[mm] \left(\bruch{\theta}{1-\theta}\right)^n\sum_{x=n}^{\infty}\vektor{x-1 \\ n-1}((1-\theta)*t)^{x}
[/mm]
Passiert hier jetzt etwas mit den Indizes ? habe ich das richtige aus der Summe gezogen ?
Lg
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Hallo!
> In der Tat habe ich so meine Probleme mit Summenzeichen
> (schon immer gehabt...) und kriege das irgendwie nie in den
> Griff. Immer wenn ich glaube es einigermaßen zu verstehen,
> kommt etwas wo ich mir wieder denke "was zur Hölle ist das
> denn nun wieder...". Kennst du vielleicht ein Skript / Buch
> wo es ein gutes Kapitel dazu gibt ?
Nein, kenne ich nicht...
Du musst dir einfach klar machen, was so ein Summenzeichen bedeutet, was die "Laufvariable" ist, und welche Werte dann aus der Summe gezogen werden können, usw.
> Zurück zur Aufgabe:
>
> Die erzeugende Funktion ist also definiert als:
>
> [mm]\sum_{x=n}^{\infty}t^{x}\cdot{}P(X=x)[/mm]
>
> einsetzen liefer also:
>
> [mm]\sum_{x=n}^{\infty}t^{x}\vektor{x-1 \\ n-1}\cdot{}\theta^{n}\cdot{}(1-\theta)^{x-n}[/mm]
>
> Demnach könnte ich hier also
> [mm]\left(\bruch{\theta}{1-\theta}\right)^n[/mm] aus der Summe
> ziehen:
>
> [mm]\left(\bruch{\theta}{1-\theta}\right)^n\sum_{x=n}^{\infty}\vektor{x-1 \\ n-1}((1-\theta)*t)^{x}[/mm]
>
> Passiert hier jetzt etwas mit den Indizes ? habe ich das
> richtige aus der Summe gezogen ?
Ja, bis jetzt ist alles richtig. Wenn du nur Faktoren aus der Summe ziehst, verändert sich an den Indizes nichts. Nur wenn du Summanden aus der Summe ziehst, verändert sich was.
Jetzt machen wir eine Indexverschiebung, und zwar von ( n... [mm] \infty [/mm] ) zu (0 ... [mm] \infty): [/mm] Dadurch wird aus jedem x ein "x+n":
[mm] $\left(\bruch{\theta}{1-\theta}\right)^n\sum_{x=n}^{\infty}\vektor{x-1 \\ n-1}((1-\theta)*t)^{x}$
[/mm]
$= [mm] \left(\bruch{\theta}{1-\theta}\right)^n\sum_{x=0}^{\infty}\vektor{(x+n)-1 \\ n-1}((1-\theta)*t)^{(x+n)}$
[/mm]
Nun kannst du nochmals Faktoren aus der Summe ziehen, die nicht mehr von x abhängen.
Als nächstes formen wir um:
[mm] $\vektor{(x+n)-1 \\ n-1} [/mm] = [mm] \vektor{x+n-1 \\ x}$
[/mm]
(kommt aus der Regel [mm] $\vektor{a\\b} [/mm] = [mm] \vektor{a\\ a-b}$), [/mm] also haben wir:
Nun schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier, ob du weiterkommst. (Es geht um das letzte Gleichheitszeichen!), in Verbindung mit diesem hier.
Grüße,
Stefan
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Hi
> Hallo!
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> Ja, bis jetzt ist alles richtig. Wenn du nur Faktoren aus
> der Summe ziehst, verändert sich an den Indizes nichts.
> Nur wenn du Summanden aus der Summe ziehst, verändert sich
> was.
>
> Jetzt machen wir eine Indexverschiebung, und zwar von (
> n... [mm]\infty[/mm] ) zu (0 ... [mm]\infty):[/mm] Dadurch wird aus jedem x
> ein "x+n":
Hier kommen doch aber n Terme dazu, intuitiv hätte ich da (offenbar falsch) eher n abgezogen, also x-n ... Wie kommt man hier auf x+n ?
> [mm]\left(\bruch{\theta}{1-\theta}\right)^n\sum_{x=n}^{\infty}\vektor{x-1 \\ n-1}((1-\theta)*t)^{x}[/mm]
>
> [mm]= \left(\bruch{\theta}{1-\theta}\right)^n\sum_{x=0}^{\infty}\vektor{(x+n)-1 \\ n-1}((1-\theta)*t)^{(x+n)}[/mm]
>
> Nun kannst du nochmals Faktoren aus der Summe ziehen, die
> nicht mehr von x abhängen.
> Als nächstes formen wir um:
>
> [mm]\vektor{(x+n)-1 \\ n-1} = \vektor{x+n-1 \\ x}[/mm]
>
> (kommt aus der Regel [mm]\vektor{a\\b} = \vektor{a\\ a-b}[/mm]),
> also haben wir:
>
>
> Nun schau mal
> hier,
> ob du weiterkommst. (Es geht um das letzte
> Gleichheitszeichen!), in Verbindung mit
> diesem hier.
>
> Grüße,
> Stefan
Lg
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Hallo,
> > Jetzt machen wir eine Indexverschiebung, und zwar von (
> > n... [mm]\infty[/mm] ) zu (0 ... [mm]\infty):[/mm] Dadurch wird aus jedem x
> > ein "x+n":
>
> Hier kommen doch aber n Terme dazu, intuitiv hätte ich da
> (offenbar falsch) eher n abgezogen, also x-n ... Wie kommt
> man hier auf x+n ?
Nehmen wir mal eine einfachere Summe:
[mm] $\sum_{x=n}^{\infty}x$
[/mm]
Die Summe hat also ausgeschrieben die Gestalt:
[mm] $\sum_{x=n}^{\infty}x [/mm] = n + (n+1) + (n+2) + ...$
Wenn die Summe nun statt bei "n" bei "0" anfängt, muss statt "x" nun "x+n" stehen, damit der erste Summand immer noch denselben Wert (nämlich "n") hat:
[mm] $\sum_{x=n}^{\infty}x$ [/mm] = [mm] $\sum_{x=0}^{\infty}(x+n) [/mm] = (0+n) + (1 + n) + (2 + n) + ...$
etwas klarer geworden?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Sa 17.04.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
wunderbar. Habs jetzt hinbekommen! Danke Dir.
Schönes Wochenende.
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