erzeugende Funktion, Faltung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Eine Zufallsvariable heißt negativ binomialverteilt mit Parametern r > 0 und p [mm] \in(0,1), [/mm] falls
P(X=k) = [mm] \vektor{k+r-1 \\ k}pr(1-p)^k, [/mm] k=0,1,2,...
a) Sein X NB(r,p)-verteilt. Bestimmen Sie die erzeugende Funktion von X sowie E(X) und Var(X).
b) Seien [mm] X_1,...,X_n [/mm] i.i.d. NB(r,p)-verteilt. Zeigen Sie, dass [mm] X_1+...+X_n [/mm] NB(nr,p)-verteilt ist. |
Also zur a)
als erzeugende Funktion habe ich raus: [mm] G(s)=(\bruch{p}{(1-(1-p)s})^r [/mm] und als [mm] E(X)=r*(\bruch{1-p}{p}), [/mm] es muss nur noch gezeigt werden, dass der Konvergenzradius > 1 ist, damit ich die Formeln, die benutzt habe anwenden kann. Kann mir jemand zeigen wie das geht :)
Zur b)
Da habe ich ein Problem.
Ich muss da ja mit der Faltung arbeiten, allerdings habe ich das bis jetzt immer nur mit 2 Funktionen gemacht und nicht mit n?!
Die Definition für Faltung lautet ja:
[mm] P(X_1+X_2)=\summe_{i=1}^{n}P(X_1=i)*P(X_2=k-i), [/mm] wie mache ich das jetzt wenn ich folgendes habe:
[mm] P(X_1+...+X_n)=???
[/mm]
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Mi 02.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
zu b) nutze 2.6 ![[]](/images/popup.gif) hier aus.
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mi 02.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
zu a) hier wird (im Prinzip) gezeigt, dass $ [mm] \vektor{k+r-1 \\ k}p^r(1-p)^k [/mm] $ eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, d.h.
[mm] $\sum_{k=0}^\infty \vektor{k+r-1 \\ k}p^r(1-p)^k=1 [/mm] $.
Es ist aber
[mm] $G(s)=\operatorname{E}[\exp[sX]=\sum_{k=0}^\infty \vektor{k+r-1 \\ k}p^r\exp[sk](1-p)^k$.
[/mm]
fuer hinreichend kleine $s_$. Wann *ist* $s_$ hinreichend klein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Bibijana |
Hi, ich bearbeite gerade die selbe Aufgabe. Meine Überlegung bisher:Die Potenzreihe G(s) konvergiert absolut für [mm] |s|\le [/mm] 1( nach Bem. 5.1 ). Also ist der Konvergenzradius von jeder erzeugenden Funktion mindestens 1. Dann kann man doch Bemerkung 5.2 anwenden, d.h die erzeugende Funktion ableiten und Grenzwert von unten gegen 1 bestimmen, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Peon |
zu b)
> Moin,
>
> zu b) nutze 2.6 []hier aus.
>
> vg Luis
Hi, blöde Frage, aber wo ist in dem o.g. Skrit eine 2.6? :)
> Hi, ich bearbeite gerade die selbe Aufgabe. Meine
> Überlegung bisher:Die Potenzreihe G(s) konvergiert absolut
> für [mm]|s|\le[/mm] 1( nach Bem. 5.1 ). Also ist der
> Konvergenzradius von jeder erzeugenden Funktion mindestens
> 1.
Könntest du die Rechenschritte vielleicht kurz skizzieren, dann wird mir das vielleicht klarer, ich komme mit der Chauchy-Hadamard Formel nicht zurecht.
> Dann kann man doch Bemerkung 5.2 anwenden, d.h die
> erzeugende Funktion ableiten und Grenzwert von unten gegen
> 1 bestimmen, oder?
Genau, wenn die Vor. gezeigt wurde, kannst du die Bemerkung anwenden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Mi 02.12.2009 | | Autor: | luis52 |
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> Hi, blöde Frage, aber wo ist in dem o.g. Skrit eine 2.6?
> :)
>
Sorry, Zahlendreher, meine 6.2.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Do 03.12.2009 | | Autor: | Peon |
Hallo,
nach dem Hinweis habe ich folgendes gemacht:
[mm] X_1,...,X_n [/mm] sind iid NB(r,p)-verteilt.
=> [mm] M_{X_1}(t)=G_{X_1}(t)=(\bruch{p}{1-(1-p)e^t})^r [/mm] ... [mm] M_{X_n}(t)=G_{X_n}(t)=(\bruch{p}{1-(1-p)e^t})^r
[/mm]
[mm] =>M_{X_1+...+X_n}(t)=[M_{X_1,...,X_n}(t)]^n [/mm] da die [mm] X_i [/mm] unabhängig [mm] =M_{X_1}(t)*...*M_{X_n}(t)=[(\bruch{p}{1-(1-p)e^t})^r]^n=(\bruch{p}{1-(1-p)e^t})^{r*n}
[/mm]
[mm] =>X_1+...+X_n [/mm] ist NB(nr,p)-verteilt.
Kann man das so machen oder fehlt da noch eine Begrüdnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Do 03.12.2009 | | Autor: | luis52 |
> Kann man das so machen oder fehlt da noch eine Begrüdnung?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich wuerde noch ergaenzen: Da eine momenterzeugende Funktion die Verteilung eindeutig festlegt, folgt die Behauptung.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Do 03.12.2009 | | Autor: | Peon |
Super, Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Bibijana |
> > Kann man das so machen oder fehlt da noch eine Begrüdnung?
>
> Ich wuerde noch ergaenzen: Da eine momenterzeugende
> Funktion die Verteilung eindeutig festlegt, folgt die
> Behauptung.
>
> vg Luisk+nr-1
>
>
Haben wir in der Vorlesung gezeigt dass die Momenterzeugende Funktion die Verteilung eindeutig festlegt? Ich habe "zu Fuß" daraus wieder die Verteilung berechnet. Mit: [mm] p_{k}=P(X_{1}+...+X_{n}=k)=G^{(k)}(0)/k!
[/mm]
[mm] =...=p^{nr}*\vektor{-nr\\k}*(p-1)^k=p^{nr}*\vektor{k+nr-1\\k}*(1-p)^k
[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:17 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Peon |
> Ich habe "zu Fuß" daraus wieder die Verteilung
> berechnet. Mit: [mm]p_{k}=P(X_{1}+...+X_{n}=k)=G^{(k)}(0)/k![/mm]
>
> [mm]=...=p^{nr}*\vektor{-nr\\k}*(p-1)^k=p^{nr}*\vektor{k+nr-1\\k}*(1-p)^k[/mm]
kannst du mir dazu die rechnung nochmal ein bisschen weiter erläutern?
ich war auch nicht ganz sicher ob man das mit der momenterzeugenden Fkt so machen kann.
DANKE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 07.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Do 03.12.2009 | | Autor: | Bibijana |
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> > Hi, ich bearbeite gerade die selbe Aufgabe. Meine
> > Überlegung bisher:Die Potenzreihe G(s) konvergiert absolut
> > für [mm]|s|\le[/mm] 1( nach Bem. 5.1 ). Also ist der
> > Konvergenzradius von jeder erzeugenden Funktion mindestens
> > 1.
> Könntest du die Rechenschritte vielleicht kurz skizzieren,
> dann wird mir das vielleicht klarer, ich komme mit der
> Chauchy-Hadamard Formel nicht zurecht.
>
> > Dann kann man doch Bemerkung 5.2 anwenden, d.h die
> > erzeugende Funktion ableiten und Grenzwert von unten gegen
> > 1 bestimmen, oder?
>
> Genau, wenn die Vor. gezeigt wurde, kannst du die Bemerkung
> anwenden.
>
Ich habe den Konvergenzradius nicht berechnet. Ich verstehe das Skript so, daß jede erzeugende Funktion mindestens den Konvergenzradius 1 hat. D.h. die Bem. 5.2 kann man immer anwenden , (solange was sinnvolles raus kommt.) Aber sicher bin ich mir auch nicht weil bei mir für die erzeugende Funktion gilt |s|<1/|p-1| und ich es merwürdig finde dann s=1 zu setzen.
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