erzeuger eines faktorrings < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.man zeige: p(x)=x³ +x +1 ist über [mm] F_2 [/mm] irreduzibel
2.setzte [mm] F_8 [/mm] := [mm] F_2[X] [/mm] / (x³ +x +1). finde einen Erzeuger von [mm]F_{8}[/mm]*. |
erstens ist klar denn wäre p reduzibel ,müsste p(0) oder p(1) =0 sein. also ist p irreduzibel über dem Körper [mm] F_2 [/mm] wie man ihn kennt (der mit 2 elementen).
[mm] F_8 [/mm] meint dann den Faktorring (der offenbar 8 elemente hat) .
meine frage ist was ein erzeuger ist. ich vermute, dass [mm]F_{8}[/mm]* die menge der einheiten des rings [mm] F_8 [/mm] ist . wie hab ich mir die restklassen in diesem faktorring vorzustellen?
in Z/mZ ist mir sowas noch völlig klar...
bitte um hilfe, grüße andi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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noch ein hinweis : bei 2. steht in der aufgabe hinter [mm] F_8 [/mm] ein stern *.und unten wo ich davon rede natürlich auch, das hat wohl beim formatieren nicht so ganz geklappt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Mo 20.10.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> 1.man zeige: p(x)=x³ +x +1 ist über [mm]F_2[/mm] irreduzibel
>
> 2.setzte [mm]F_8[/mm] := [mm]F_2[X][/mm] / (x³ +x +1). finde einen Erzeuger
> von [mm]F_{8}[/mm]*.
> erstens ist klar denn wäre p reduzibel ,müsste p(0) oder
> p(1) =0 sein. also ist p irreduzibel über dem Körper [mm]F_2[/mm]
> wie man ihn kennt (der mit 2 elementen).
Genau!
> [mm]F_8[/mm] meint dann den Faktorring (der offenbar 8 elemente hat)
> .
>
> meine frage ist was ein erzeuger ist. ich vermute, dass
> [mm]F_{8}[/mm]* die menge der einheiten des rings [mm]F_8[/mm] ist . wie hab
> ich mir die restklassen in diesem faktorring vorzustellen?
> in Z/mZ ist mir sowas noch völlig klar...
Wie schreibst du dir denn Z/mZ hin? Wahrscheinlich doch, indem du aus jeder Restklasse einen Vertreter notierst. Und wie findest du die Restklasse selbst (als Menge)? Du teilst jede ganze Zahl durch m und packst die mit dem gleichen Rest in eine Klasse.
Genauso machst du das in einem Polynomring. In diesem Falle erhältst du 8 mögliche Reste, einer ist z. B. 0, also das Nullpolynom.
Es wird sich dann herausstellen, daß dieser Restklassenring in Wirklichkeit ein Körper ist, daß er 7 invertierbare Elemente hat, die eine multiplikative Gruppe bilden und die zyklisch ist.
Was sind dann in dieser Gruppe erzeugende Elemente?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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also wenn das eine zyklische gruppe ist, kann ich alle elemente aus einem einzigen durch potenzieren erzeugen-das ist dann der erzeuger oder wie? das heißt wenn ich für den erzeuger einen kandidaten habe potenziere ich drauflos und erhalte (nach division durch P ! -richtig?) alle anderen invertierbaren elemnte, also die menge der einheiten?
dass der faktorring ein körper ist folgt ja aus der irreduzibiltät von P...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:43 Di 21.10.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> also wenn das eine zyklische gruppe ist, kann ich alle
> elemente aus einem einzigen durch potenzieren erzeugen-das
> ist dann der erzeuger oder wie? das heißt wenn ich für den
> erzeuger einen kandidaten habe potenziere ich drauflos und
> erhalte (nach division durch P ! -richtig?) alle anderen
> invertierbaren elemnte, also die menge der einheiten?
Ja.
> dass der faktorring ein körper ist folgt ja aus der
> irreduzibiltät von P...
Daraus folgt erstmal, daß es ein Integritätsring ist. Aber endliche Integritätsringe sind Körper. Und die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers ist immer zyklisch. Hier sowieso, weil sie die Ordnung 7 hat.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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also mittlerweile hab ich festgestellt, dass die restklassen , definiert durch vertreter die folgenden sind:
0, 1 , x, x+1, x², x² +1, x² +x, x² +x +1
das ist auch logisch, als erzeuger hab ich (x+1) vermutet und siehe da , die potenzen von 1 bis 7 erzeugen tatsächlich alle vertreter bis auf 0.
was mich noch interressieren würde: wie findet man diesen vertreter ohne ausprobieren?
und ist in dem faktorring der ein körper ist , die multiplikative gruppe zyklisch?
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sorry in der letzten zeile meinte ich: wenn ich einen polynomring hab über einem körper , dann ist dieser ring ein körper wenn P irreduzibel über K ist. ist in diesem körper die mult-gruppe dann immer zyklisch?
danke für die hilfe, jetzt kann ich die aufgabe lösen! grüße andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:51 Di 21.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> also mittlerweile hab ich festgestellt, dass die
> restklassen , definiert durch vertreter die folgenden sind:
>
> 0, 1 , x, x+1, x², x² +1, x² +x, x² +x +1
Ja.
> das ist auch logisch, als erzeuger hab ich (x+1) vermutet
> und siehe da , die potenzen von 1 bis 7 erzeugen
> tatsächlich alle vertreter bis auf 0.
Du hättest jeden außer 1 nehmen können (wg. der Gruppenordnung, s. o.).
> was mich noch interressieren würde: wie findet man diesen
> vertreter ohne ausprobieren?
Wenn es da eine allgemeingültige Formel gäbe, wäre die gesamte Kryptologie mit PINs und TANs usw. im Eimer.
> und ist in dem faktorring der ein körper ist , die
> multiplikative gruppe zyklisch?
s. o.
Gruß
Dieter
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