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hallo,
wie kann ich den folgendes beweisen:
Aus X [mm] \subset [/mm] Y folgt erzeugnisX [mm] \subset [/mm] erzeugnis Y
X ist ja einmal menge und dann mit den klammern erzeugnis,
was ist denn eigentlich der unterschied, erzeugnis sind doch alle x mit allen möglichen linearkombinationen, oder??
schonmal danke
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> hallo,
> wie kann ich den folgendes beweisen:
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> Aus X [mm]\subset[/mm] Y folgt erzeugnisX [mm]\subset[/mm] erzeugnis Y
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> X ist ja einmal menge und dann mit den klammern erzeugnis,
> was ist denn eigentlich der unterschied, erzeugnis sind
> doch alle x mit allen möglichen linearkombinationen,
> oder??
Hallo,
den Unterschied zwischen Menge und Erzeugnis nennst Du ja schon selber: im Erzeugnis einer Menge sind alle Linearkombinationen, die man aus deren Elementen bilden kann.
Beispiel [mm] X:={\vektor{3 \\ 1}\}
[/mm]
[mm] =\{\vektor{x \\ y}| \vektor{x \\ y}=k\vektor{3 \\ 1} mit k \in \IR \}.
[/mm]
Man sieht sofort, daß <X> viel "größer" ist als X.
Für die Aufgabe mußt Du nun zeigen, daß unter der Voraussetzung X [mm] \subseteq [/mm] Y jedes Element von <X> auch in <Y> liegt.
Wie kommt das? Die Elemente von <X> sind Linearkombinationen von Elementen von X...
Gruß v. Angela
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also kann ich sagen, da X teilmenge von Y ist sind also alle elemente von X in Y enthalten
=> es sind alle linearkombination von X in allen Linearkombinationen von Y enthalten, da sich in Y ja X befindet.
kann man des so sagen.
und wie drück ich sowas formal aus??
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Du hast es richtig begründet.
Nimm Dir nun ein x [mm] \in [/mm] <X> her. (Sei x [mm] \in [/mm] <X>)
Wie sieht das aus? Es läßt sich schreiben als Linearkombination von Elementen aus X. (Dann gibt es ein n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] x_i\in [/mm] X, [mm] \lambda_i\in \IR [/mm] (oder vielleicht K bei Euch???) , i=1,2,...n mit [mm] x=\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+...+\lambda_nx_n.)
[/mm]
Da X [mm] \subseteq [/mm] Y, sind die [mm] x_i \in [/mm] Y, somit ist [mm] x=\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+...+\lambda_nx_n \in [/mm] <Y>.
Also ist <X> [mm] \subseteq [/mm] <Y>.
Gruß v. Angela
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