erzeugte zyklische Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Damn88 |
| Aufgabe | Es sei G eine endliche Gruppe und e [mm] \not= [/mm] a [mm] \in [/mm] G ein Element von G. Wir bezeichnen mit [mm] \IN [/mm] ={1,2,3,...} die Menge der natürlichen zahlen. Bezeichne mit <a> die von a erzeugte Untergruppe von G.
a) Zeigen Sie, dass die Menge M :={k [mm] \in \IN [/mm] | [mm] a^k [/mm] = e} nicht leer ist
b) Zeigen sie: es existiert ein l [mm] \in \IN, [/mm] so dass <a> = { [mm] e=a^0,a=a^1,a^2,...,a^{l-1} [/mm] } und [mm] a^i \not= a^j [/mm] für alle i,j [mm] \in [/mm] { 0,1,2,...,l-1 }. |
Hallo,
vielleicht könnt ihr mir ein wenig weiter helfen.
Bei der Aufgabe a) weiß ich gar nicht wie ich da was genau überhaupt zeigen soll. Okay ginge es hier um [mm] \IN^0 [/mm] dann wäre [mm] a^0 [/mm] = 1 und dass kann ja leicht ein neutrales Element sein..aber so? Kann mir vielleicht jemand sagen, wo ich hier anfangen soll?
zur b) muss ich hier zeigen, dass { [mm] e=a^0,a=a^1,a^2,...,a^{l-1} [/mm] } eine Gruppe ist?
Das könnte man vielleicht so machen:
Seien n,m [mm] \in \IN [/mm] mit n,m < l und n [mm] \not=m [/mm] mit [mm] a^n,a^m \in [/mm] <a>
[mm] a^n *(a^m)^{-1} [/mm] = [mm] a^n [/mm] * [mm] a^{-m} [/mm] = [mm] a^{n-m} \in [/mm] <a>
aber das wird wohl bestimmt nicht reichen,oder?
Vielen Dank für eure Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 So 20.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
zu a): beachte, dass es sich um eine endliche Gruppe handelt.
zu b): Du sollst das nachweisen, was in der Aufgabenstellung steht, d.h. Du musst nachweisen, dass die durch ein a erzeugete Untergruppe aus endliche vielen unterschiedlichen Elementen besteht.
Es wäre hilfreich zu wissen, wie Ihr das Erzeugnis <.> definiert habt.
Wie habt Ihr denn die Ordnung eines Gruppenelements definiert? 
LG
Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 So 20.01.2008 | | Autor: | Damn88 |
ah sorry eigentlich wollte ich das auch dazu schreiben ..hatte ich vergessen :>
also:
Sei G eine Gruppe. X [mm] \subset [/mm] G eine Teilmenge. Dann ist <X> = [mm] \bigcap_{H \subset G(U.G) H \supset X} [/mm] H
mh und die Ordnung eines Gruppenelements haben wir gar nicht definiert (?)komisch..
zu a)
mh es geht um eine endliche Gruppe. Also könnte man ja zB [mm] a^k [/mm] = e setzen.. und dann die Menge { [mm] a^{l},a^{l+1},...,a^{k-1}=e,a^{k} [/mm] } betrachten mit k>l
Ich glaub das bringt aber nicht viel,oder? Wenn ich jetzt zeigen will, dass [mm] a^k [/mm] wirlich ein neutrales Element ist, bekomme ich es nicht hin.
Sei k<m<l
[mm] a^k*a^m [/mm] = [mm] a^{k+m} [/mm] und das ist irgendwie nicht [mm] a^m?!
[/mm]
aber wenn ich jetzt [mm] a*a^{k-1} [/mm] = [mm] a^k [/mm] = e dann hab ich [mm] a^{k-1} [/mm] als Inverses von a...
Aber bringt mir das irgendetwas?
b) ich schreib mal das hin was wir in der Vorlesung hatten:
<{a}> = { [mm] a^n [/mm] | b [mm] \in \IZ [/mm] } wobei [mm] a^0=e, a^n [/mm] = a*...*a (n mal) falls n>0, [mm] a^n [/mm] = [mm] a^{-1}*...*a^{-1}(-n [/mm] mal) falls n<0
Dies heißt die "von a erzeugte zyklische Untergruppe".
beachte: I.A. sind die Elemente [mm] a^n,n \in \IZ [/mm] nicht alle unterschiedlich. Etwa wenn G nur endlich viele Elemente hat, dann gibt es eine kleinste positive Zahl [mm] n_0 \in \IN, [/mm] s.d. [mm] a^{n_0}=e. [/mm] Dann ist [mm] <{a}>={e,a,a^2,a^3,...,a^{n_0-1}}. [/mm] Es ist [mm] a*a^{n_0-1} [/mm] = [mm] a^{n_0} [/mm] = e, also [mm] a^{-1} [/mm] = [mm] a^{n_0-1}
[/mm]
vllt kann ich zeigen, dass { [mm] e,a,a^2,...,a^{l-1} [/mm] } [mm] \subset [/mm] <a>, weil wenn G nicht endlich wäre, wären in <a> alle Potenzen von a enthalten und somit auch { [mm] e,a,a^2,...,a^{l-1} [/mm] } ?
Grüße, Damn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 So 20.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
man kann beide Teilaufgaben mit einem Argument erschalgen. Dieses Argument ist ein Isomorphismus zwischen einer beliebigen endlichen zyklischen Gruppe G (und die durch ein Gruppenelement erzeugte UG ist eine solche) und der additiven Gruppe [mm] $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, [/mm] +)$.
Dazu betrachten wir [mm] $\phi: [/mm] G [mm] \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ [/mm] definiert durch
[mm] $a^i \mapsto \phi(a^i) [/mm] := i$. Dies ist ein bijektiver Gruppenhomomorphismus, d.h. jede endliche zyklische Gruppe $G$ der Ordnung $n$ ist von derselben Struktur wie [mm] $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. [/mm] Für diese Gruppe sind die gerforderten Nachweise einfach zu erbringen.
Versuche zu zeigen, dass φ tatsächlich ein Homomorphismus und bijektiv ist. Ist das geschafft, kannst Du Dich auf die Untersuchung von [mm] $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ [/mm] beziehen.
LG
Alex
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