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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Joergi |
Hallo zusammen!
Ich habe mal wieder eine geometrische Frage!!!!
Gegeben sei ein Punkt [mm] (4,3)^{T}\in\IR^{2}. [/mm] Rotiere den Punkt um 35 Grad (im Gegenuhrzeigersinn) und spiegle das Resultat um die vom Vektor [mm] (-2,3)^{T} [/mm] aufgespannte Gerade durch den Ursprung. Verwende dazu Givens- und Householder-Transformationen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Joergi |
Also, mein Ansatz bis jetzt lautet folgendermaßen:
Als erstes muss ich doch eine Translation des Koordinatensystems von (0,0) [mm] \to [/mm] (4,3) durchführen und erhalte somit:
[mm] T_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1}.
[/mm]
Rotiere um 35°, so erhalte ich die Rotationsmatrix:
R = [mm] \pmat{ c & -s & 0 \\ s & c & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm]
= [mm] \pmat{ cos (35°) & -sin (35°) & 0 \\ sin (35°) & cos (35°) & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm]
= [mm] \pmat{ -0.90369221 & 0.4281826 & 0 \\ -0.4281826 & -0.90369221 & 0 \\ 0 & 0 & 1}.
[/mm]
Verschiebe nun das Koordinatensystem zurück in den Ursprung (4,3) [mm] \to [/mm] (0,0) und man erhält:
[mm] T_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] und somit insgesamt:
P = [mm] T_{2}RT_{1}
[/mm]
= [mm] \pmat{ -0.903692 & -0.428182 & 6.33022 \\ -0.428182 & -0.903692 & 7.42380 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] die Transformationsmatrix.
Ist damit der erste Teil der Aufgabe schon erledigt? Ist der Ansatz überhaupt richtig?Ist das ein Givens-Ansatz?
Weiterhin muss ich ja jetzt die Geradengleichung aufstellen:
Zwei-Punkte-Form:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] +[mm] \alpha (\vec{b}- \vec{a}) [/mm]
= [mm]\vektor{-2 \\ 3}[/mm] +[mm]\alpha\vektor{2 \\ -3}[/mm].
Jetzt weiß ich nicht mehr weiter, kann mir jemand sagen wie ich jetzt eine Householder-Spiegelung ansetzen muss und wofür ich jetzt noch die Transformationsmatrix aus der Drehung brauche!!!???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Joergi |
Hallo Jörg,
also der mathematisch positive Sinn ist der Gegenuhrzeigersinn.
D. h. dass die Winkel nicht negetiv, sondern positiv sind.
Bin an den anderen Aufgaben dran.
Liebe Grüße
Rebekka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Di 21.12.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Jörg!
Ich bin nicht sicher, aber ich glaube, dass Dein Anstz nicht stimmt.
Meiner Meinung nach, ist die Rotationsmatrix nur eine 2x2 - Matrix in dem Sinne, wie Du angesetzt hast.
Viel mehr habe ich mir zu dieser Aufgabe aber noch nicht überlegt!
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Halo Jörg und Rebekka!
Also:
Ein guter Tipp vorweg:
ZEichnet das ganze Szenario mal auf; ist später auch eine gute Kontrolle, ob ihr richtig gerechnet habt!
Als erstes rotiert der geg. Vektor um 35°.
Dann beschreibt folgende Matrix G die entsprechende Drehung:
(cos(35°), -sin(35°))
(sin(35°), cos(35°)) zeilenweise.
Berechne dann einfach G*geg. Vektor.
Jetzt soll der neue Ounkt noch gespiegelt werden.
Schreibe die Def. der Householder-Matrix auf.
Wir suchen dann also noch ein v, das senkrecht zur Geraden steht.
Wie wär´s denn mit (3;2)?
Stelle für diesen Die Householder-Matrix H(v) auf.
Der gesuchte Punkt berechnet sich dann durch H(v)*G*(4;3).
Alles klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Di 21.12.2004 | | Autor: | Joergi |
Hy [mm] \wurzel{\pi}!
[/mm]
Also, ich habe mal die Rotationsmatrix berechnet und erhalte mit
P' = G*P = [mm] \pmat{ -0.9036922 & 0.4281826 \\ -0.4281826 & -0.9036922 }* \pmat{ 4 \\ 3 } [/mm] = [mm] \pmat{ -2.330221 \\ -4.4238073 }.
[/mm]
Hoffe, dass das schonmal stimmt. So, jetzt weiß ich aber nicht wie die Householder-Matrix aussehen muss, kannst Du mir da noch helfen? Vielen Dank!
Gruss Jörg
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Hallo Jörg!
Nein, das ist so nicht richtig!
Das dürfte auch nicht mit Deiner Zeichnung übereinstimmen!
Aber ich glaube , Du hast einfach nur die Werte der trigonometrischen Funktionen falsch berechnet.
Zum Beispiel ist doch cos(35°)=0.819.... (Taschenrechner auf DEG).
Dann erhält man den rotierten Punkt (1.56; 4.75).
So, nun zu Householder:
[mm]H(v)= I - 2* \bruch{v*vT}{||v||^2} [/mm].
Wir suchen also noch einen Vektor v, der senkrecht auf der Geraden g mit der Gleichung y=-3/2x steht.
Da kann man zum Beispiel für v den Vektor (2;3) wählen.
So,nun einfach einsetzen und man erhält die Householder-Matrix.
Den gespiegelten Punkt erhält man also durch
H(v)*(1.56; 4.75) = (-4.98; 0.39).
Fertig ist.
Alles klar nun?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Di 21.12.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo ihr,
sorry, wenn ich mich einmische, aber ich habe eine Stelle von [mm] \sqrt{\pi} [/mm] nicht nachvollziehen können:
Wir suchen dann also noch ein v, das senkrecht zur Geraden steht.
Wie wär´s denn mit (3;2)?
Warum suchen wir einen Vektor, der senkrecht auf v steht? Haben wir die Householdertrafo nicht immer mit dem Vektor v gemacht, an dem wir auch spiegeln wollten? Müsste man nicht einfach nur
$I - [mm] 2\bruch{\vektor{-2\\3}*\vektor{-2\\3}^{t}}{||\vektor{-2\\3}||_2^2}$ [/mm] bilden?
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Di 21.12.2004 | | Autor: | Joergi |
Hallo Leute!
Also, im Allgemeinen muss ich gestehen, dass ich auch garnicht verstehe wie die zuvor berechnete Givens-Rotation mit der berechneten Drehmatrix in die Householder-Transformation einfließt!?Darüber hinaus verstehe ich auch nicht so recht, warum man jetzt ein v senkrecht (man müsste hier mal ein Zeichen für senkrecht einfügen liebe Matheraumbegründer!!!!)benutzt, anstatt mit [mm] \vec{v} [/mm] an sich weiter zu rechnen!Kann mir da jemand noch auf die Sprünge helfen und mir vor allem die Householder-Matrix mal hinschreiben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Di 21.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> (man müsste hier mal ein Zeichen für senkrecht
> einfügen liebe Matheraumbegründer!!!!)
[mm] $v^{\perp}$
[/mm]
Liebe Grüße
Einer der Genannten... 
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Hallo At-Colt!
> Warum suchen wir einen Vektor, der senkrecht auf v steht?
> Haben wir die Householdertrafo nicht immer mit dem Vektor v
> gemacht, an dem wir auch spiegeln wollten? Müsste man nicht
> einfach nur
>
> [mm]I - 2\bruch{\vektor{-2\\3}*\vektor{-2\\3}^{t}}{||\vektor{-2\\3}||_2^2}[/mm]
> bilden?
Im Grunde hast Du Recht, mit (-2;3) klappt das natürlich auch, da dieser Punkt auf der Geraden liegt.
In diesem Beispiel spiegeln wir an einer Geraden, wir können doch irgendeinen Vektor wählen, der senkrecht zur Geraden steht und dann durch Parallelverschiebung so verschieben, dass wir den rotierten Vektor spiegeln können.
Das gleiche pssiert ja auch mit dem Vektor (-2;3).
Der "steht" auch senkrecht zur Geraden!
Prinzipiell passiert aber immer das gleiche.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Di 21.12.2004 | | Autor: | Joergi |
Hallo [mm] \wurzel{\pi}!
[/mm]
Deine Werte stimmen, ich habe es mal zeichnen lassen, das Matheprogramm spukt auch diese Werte aus; und rein rechnerisch habe ich dasselbe herausbekommen wie Du, danke für Deine Hilfe!Brüten auch noch zu Aufgabe 35, wenn Du einen Ansatz hast, vielleicht kommen wir gemeinsam drauf!?
Also nochmal Danke und VLG
Jörg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Mi 22.12.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo nochmal,
ein Tipp zur Aufgabe 35:
Zeige, dass es zu beliebigem $v [mm] \in \IR^{n}$, [/mm] $n [mm] \in \IN$, [/mm] v nicht der Nullvektor, eine Matrix [mm] $Q_v$ [/mm] gibt, so dass gilt:
[mm] $Q_{v}v [/mm] = [mm] ||v||_{2}e^{(1)}$
[/mm]
(Der erste Einheitsvektor exisitert für alle n, deswegen der.)
Wenn ihr jetzt zeigen könnt, dass [mm] $Q_{v}$ [/mm] durch Givens-Rotationen erzeugt werden kann und invertierbar ist, dann gilt für die gesuchte Matrix:
$Qx = [mm] Q_{y}^{-1}Q_{x}x [/mm] = [mm] Q_{y}^{-1}||x||_{2}e^{(1)} [/mm] = y$
(Wegen [mm] $||x||_2 [/mm] = [mm] ||y||_2$)
[/mm]
greetz
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Joergi |
Hi AT-Colt,
Wir haben bis jetzt folgendes geschafft:
Qv = [mm] ||v||_{2}e_{1} \rightarrow [/mm] Q = [mm] ||v||_2e_1v^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ \wurzel { v_1^2+...+v_n^2}\\ 0 \\ \vdots \\ 0}[/mm]
Wie kann ich nun zeigen, dass Q durch Givens-Rotation erzeugt wird und invertierbar ist?
Kannst du uns da noch einen weiteren Tipp geben?
Danke
Jörg und Rebekka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Mi 22.12.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Naja, also ab jetzt ist das bei mir auch alles nur noch etwas schwammig...
Wir hatten in der Vorlesung ja einen Algorithmus mit Rotationsmatrizen [mm] $\Omega_{kl}$, [/mm] wobei das definiert war als
[mm] $\Omega_{kl} \gdw {\Omega_{kl}}_{kl}^{kl} [/mm] = [mm] \pmat{cos(\alpha)&sin(\alpha)\\-sin(\alpha)&cos(\alpha)}$ [/mm] und [mm] ${\Omega_{kl}}_{\backslash kl}^{\backslash kl} [/mm] = I [mm] \in \IR^{n-2,n-2}$
[/mm]
Jetzt kann man wie in der Vorlesung sukzessive die unteren Einträge eines Vektors ausräumen:
[mm] $\Omega_{n-1,n}\vektor{v_1\\v_2\\\vdots\\v_{n-1}\\v_n} [/mm] = [mm] \vektor{v_1^{\*}\\v_2^{\*}\\\vdots\\v_{n-1}^{\*}\\0}$ [/mm] etc
[mm] $\Rightarrow {\produkt_{i=1}^{n-1}(\Omega_{i,i+1})}v [/mm] = [mm] ke^{(1)}$
[/mm]
(Dazu schaue man sich nochmal die Herleitung der Givens-Rotation an.)
So, nun kommt der unschöne Teil:
Aus LA wissen wir, dass die Hintereinanderausführung von Rotationen (Drehungen) wieder eine Rotation ist, und dass Rotationen furch Rotationen invertiert werden.
Ausserdem sind Rotationen längentreu (Determinante = 1) und orthogonal.
Deswegen muss für das k aus oben gelten: $k = [mm] ||v||_{2}$
[/mm]
Dann gilt also:
[mm] ${\produkt_{i=1}^{n-1}(\Omega_{i,i+1})}v [/mm] = [mm] ||v||_{2}e^{(1)}$ [/mm] und [mm] ${\produkt_{i=1}^{n-1}(\Omega_{i,i+1})} [/mm] = [mm] Q_v$
[/mm]
Sowie [mm] $Q_v$ [/mm] orthogonal und [mm] $Q_{v}^{-1}$ [/mm] orthogonal.
Naja, es stimmt, aber ob die das so wollen ^^;
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Joergi |
Hallo AT-Colt,
also wir haben uns mit Deinem Ansatz auseinandergesetzt; so wie Du das aufgeschlüsselt hast, klingt das logisch und macht auch Sinn. Du hast recht, wenn der letzte Teil was schwammig ist, da man zur Vollständigkeit eigentlich noch zeigen müsste, dass das [mm] Q_{v} [/mm] invertierbar ist, da sonst Deine letzte Formel zusammenbricht wie ein Kartenhäuschen. Auch sind wir uns nicht sicher ob das der geforderte "Algorithmus" ist, den die Leutz da verlangen!? Jedoch sind wir Deiner Meinung, dass der Ansatz, so wie Du ihn beschrieben hast, stimmt!
Also, vielen vielen Dank, dass Du Dir die Mühe gemacht hast, das hier reinzusetzen und uns damit helfen konntest!
Viele Liebe Grüße
Jörg und Rebekka
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