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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Mo 02.06.2014 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | | Betrachte das Polynom [mm] f:=T^3+\overline{2}T+1 \in (\IZ/3\IZ)[T] [/mm] und setze [mm] R:=(\IZ/3\IZ)[T]/. [/mm] Berechne das Inverse von [mm] T^4+ [/mm] in R |
hallo,
ich habe so angefangen :
[mm] T^4 =(T^3+\overline{2}T+1)(T)+T^2+2T
[/mm]
[mm] T^3+2T+1=(T^2+2T)(T)+1
[/mm]
[mm] T^2+2T [/mm] =1 [mm] \cdot(T^2+2T)+0
[/mm]
damit erhalte mit vielfachsummendarstellung
[mm] 1=(T^3+2T+1)-((T^2+2T)T)
[/mm]
[mm] =(T^3+2T+1)-((T^4-(T^3+2T+1)T)T)
[/mm]
[mm] =(T^3+2T+1)(1+T)-T^4 \cdot [/mm] T
[mm] =(T^3+2T+1)(1+T)+T^4\cdot(-1)T
[/mm]
[mm] =(T^3+2T+1)(1+T)+T^4 \cdot [/mm] 2T
damit wäre 2T inverse von [mm] T^4 [/mm] (vollständig 2T+<f>), aber wie kann ich nachprüfen ob es wirklich die inverse ist, da wenn ich 2T [mm] \cdot T^4= 2T^5, [/mm] aber muss da nicht irgendwie 1 herauskommen? ist die Inverse eigetnlich richtig. bin für jede hilfe dankbar.
gruß
knowhow
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> Betrachte das Polynom [mm]f:=T^3+\overline{2}T+1 \in (\IZ/3\IZ)[T][/mm]
> und setze [mm]R:=(\IZ/3\IZ)[T]/.[/mm] Berechne das Inverse von
> [mm]T^4+[/mm] in R
> hallo,
>
> ich habe so angefangen :
>
> [mm]T^4 =(T^3+\overline{2}T+1)(T)+T^2+2T[/mm]
>
> [mm]T^3+2T+1=(T^2+2T)(T)+1[/mm]
Hallo,
das ist doch
[mm] T^3+2T+1=(T^2+2T)(T)+T^2+2T+1 [/mm] = [mm] (T^2+2T)(T+1)+1.
[/mm]
Damit hat man
[mm] 1=(T^3+2T+1)- (T^2+2T)(T+1) [/mm]
[mm] =(T^3+2T+1)- (T^4-(T^3+2T+1)T)(T+1) [/mm]
[mm] =-T^4(T+1)+(T^3+2T+1)(1+T(T+1))
[/mm]
[mm] =T^4(2T+2) [/mm] + [mm] (T^2+T+1)*(T^3+2T+1),
[/mm]
und (2T+2) ist das Inverse von [mm] T^4 [/mm] modulo [mm] (T^3+2T+1).
[/mm]
> [mm]T^2+2T[/mm] =1 [mm]\cdot(T^2+2T)+0[/mm]
>
> damit erhalte mit vielfachsummendarstellung
>
> [mm]1=(T^3+2T+1)-((T^2+2T)T)[/mm]
> [mm]=(T^3+2T+1)-((T^4-(T^3+2T+1)T)T)[/mm]
> [mm]=(T^3+2T+1)(1+T)-T^4 \cdot[/mm] T
> [mm]=(T^3+2T+1)(1+T)+T^4\cdot(-1)T[/mm]
> [mm]=(T^3+2T+1)(1+T)+T^4 \cdot[/mm] 2T
>
> damit wäre 2T inverse von [mm]T^4[/mm] (vollständig 2T+<f>), aber
> wie kann ich nachprüfen ob es wirklich die inverse ist, da
> wenn ich 2T [mm]\cdot T^4= 2T^5,[/mm] aber muss da nicht irgendwie 1
> herauskommen?
Meinem Verständnis nach müßte
[mm] T^4*Inverses [/mm] - 1 ein Vielfaches von [mm] T^3+2T+1 [/mm] sein.
LG Angela
> ist die Inverse eigetnlich richtig. bin für
> jede hilfe dankbar.
>
> gruß
> knowhow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Di 03.06.2014 | | Autor: | knowhow |
hallo, danke für deine antwort,
warum schreibt man
[mm] 1=(T^3+2T+1)-(T^2+2)(T+1) [/mm] anstelle [mm] 1=(T^3+2T+1)-((T^2+2)(T)+1) [/mm] ? ( ich weiß das beim ausmultiplizieren die 1herauskommen soll und aber ich erhalte da keine 1 heraus da konstante term wegfehlt) aber macht es kein unterschied wo ich die klammer hinsetzte, den bei der Berechnung mit euklisisches algorithmus habe
[mm] T^3+2T+1=(T^2+2)(T)+1
[/mm]
schreibe ich dann als lösung für die inverse dann [mm] (T^2+2)+ [/mm] oder ist es falsch und es lautet nut [mm] T^2+2?
[/mm]
dankeschön im voraus
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> hallo, danke für deine antwort,
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> warum schreibt man
> [mm]1=(T^3+2T+1)-(T^2+2)(T+1)[/mm] anstelle
> [mm]1=(T^3+2T+1)-((T^2+2)(T)+1)[/mm] ?
Hallo,
es ist doch
[mm] (T^3+2T+1)-((T^2+2)(T)+1)
[/mm]
[mm] =T^3+2T+1-(T^2+2)(T)-1
[/mm]
[mm] =T^3+2T+1-T^3-2T-1
[/mm]
=0, und nicht =1.
Deshalb lautet die Antwort:
man schreibt das nicht so, weil es falsch ist.
Die richtige Rechnung habe ich ja vorgeführt - jedenfalls hoffe ich, daß ich richtig gerechnet habe.
> ( ich weiß das beim
> ausmultiplizieren die 1herauskommen soll und aber ich
> erhalte da keine 1 heraus da konstante term wegfehlt)
Siehste!
> aber
> macht es kein unterschied wo ich die klammer hinsetzte, den
> bei der Berechnung mit euklisisches algorithmus habe
>
> [mm]T^3+2T+1=(T^2+2)(T)+1[/mm]
Warum hast Du jetzt [mm] T^2+2 [/mm] im Rennen?
Hat das was mit der Aufgabe zu tun?
Nee, oder? Du berechnest jetzt gerade etwas anderes.
> schreibe ich dann als lösung für die inverse
> dann
> [mm](T^2+2)+[/mm] oder ist es falsch und es lautet nut [mm]T^2+2?[/mm]
Es ist [mm] (T^2+2)+ [/mm] das Inverse von T+<f>.
Du solltest Dich mit der Schreibweise nach den Gepflogenheiten Deiner Vorlesung richten.
Vielleicht schreibt Ihr auch [mm] [T^2+2], [/mm] oder auch einfach [mm] T^2+2.
[/mm]
LG Angela
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