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| Aufgabe | Es seien [mm] f(x)=x^6+x^4+x^2+1 [/mm] und [mm] g(x)=x^3+x^2+x+1. [/mm] Bestimmen Sie mittels des erweiterten euklidischen Algorithmus zwei Polynome [mm] h_f(X), h_g(X) \in \IQ [/mm] [X] mit
[mm] ggT (f,(X),g(X))=h_f(X) \times f(X) + h_g(X) \times g(X). [/mm] |
Hallo,
die zunächst erforderliche Polynomdivision hab ich erledigt und mit einem Online Rechner überprüft:
[mm]
x^6+x^4+x^2+1 : (x^3+^2+x+1) = x^3-x^2+x-1 [/mm] mit Rest [mm] 2x^2+2
[/mm]
[mm]
x^3+x^2+x+1 : (2x^2+2) = \bruch {1} {2} x + \bruch {1} {2} [/mm] mit Rest 0
So jetzt hab ich versucht mich zum ggT bei Polynomen schlau zu machen, hat aber nicht ganz geklappt.
Ich glaube in meinem Fall ist der ggT entweder [mm] 2x^2+2 [/mm] oder einfach nur 2. Außerdem hab ich in dem Zusammenhang mit ggT bei Polynomen auch noch was von normiert gefunden. Das heißt der Leitkoeffizient sollte 1 sein. Das erreicht man indem man mit [mm] \bruch {1} {2} [/mm] mal nimmt. Aber was jetzt genau Sache ist, versteh ich leider nicht. Ich hab trotzdem noch versucht die Lösung zu bestimmen:
ggT = [mm] 2x^2+2=x^6+x^4+x^2+1-(x^3+x^2+x+1)(x^3-x^2+x-1)
[/mm]
Wenn ich den ggT richtig interpretiere, dann könnte das ja so stimmen. Ich hab jetzt aber auch nur die erste Polynomdivision verwendet, das wundert mich auch ein wenig.
Gruß almightybald
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Mo 23.11.2009 | | Autor: | bolzen |
Du hast alles richtig gemacht. Der ggT von zwei Polynomen ist der letzte Rest der nicht 0 ist, wenn du den euklidischen Algorithmus durchführst.
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