eulersche Phi-Funktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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fuer welche n aus N ist Phi(n)=2?
und fuer welche n ist Phi(n)ungerade?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich nehme mal an du meinst die Eulersche [mm] $\phi$-Funktion:
[/mm]
[mm] $\phi(n) [/mm] = [mm] |\{m \in \{1,2,\ldots,n-1\}, : \, ggT(m,n)=1\}|$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:17 Sa 12.11.2005 | | Autor: | tangye8152 |
Dann gilt [mm] \phi(n)=2 [/mm] genau dann, wenn [mm] \phi [/mm] eine Primzahl ist.
was bedeutet das eigenilich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 12.11.2005 | | Autor: | tangye8152 |
fuer welche n ist Phi(n)ungerade?
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Warum rechnest du nicht einfach ein paar [mm]\varphi{(n)}[/mm] für kleine [mm]n[/mm] aus und versuchst, eine Vermutung aufzustellen, die es dann zu beweisen gilt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo tangye!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Gruß
Loddar
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Es soll wohl heißen: ... wenn [mm]n[/mm] eine Primzahl ist
Aber es ist so oder so falsch, und zwar beide Implikationen:
[mm]\varphi{(2)} = 1[/mm], obwohl 2 eine Primzahl ist
[mm]\varphi{(6)} = 2[/mm], obwohl 6 keine Primzahl ist
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Hallo Tangye8152,
es wäre nett, wenn du ein bisschen über dein Wissen zur [mm] \Phi [/mm] -Funktion gesagt hättest.
Du musst wissen, dass für eine Zahl $n$ mit der Primfaktorzerlegung
[mm] $n={p_1}^{r_1}\cdot\cdots\cdots{p_n}^{r_n}$ [/mm] mit [mm] {p_i} [/mm] prim, [mm] {r_i}\in\IN [/mm] gilt:
[mm] $\Phi(n)$ [/mm] = $n$ [mm] $\cdot$ $\left(\frac{p_1-1}{p_1}\right)$ $\cdots$ $\left(\frac{p_n-1}{p_n}\right)$.
[/mm]
Gekürzt ergibt sich:
[mm] $\Phi(n)$ [/mm] = [mm] ${p_1}^{r_1-1}$ $\cdots$ ${p_n}^{r_n-1}$ $\cdot$ $(p_1-1)$ $\cdots$ $(p_n-1)$.
[/mm]
Daraus folgt nun unmittelbar (aber warum?), dass [mm] $\Phi(n)$ [/mm] für $n>2$ immer gerade ist.
Ebenso sieht man an dieser Faktorisierung, dass für alle $n>6$ gilt: [mm] $\Phi(n)>2$, [/mm] so dass du nur unter den Zahlen $n=1$ bis $n=6$, nachschauen musst, wann [mm] $\Phi(n)=2$ [/mm] ist.
Hilft dir das weiter?
Hugo
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