eulersche phi-Fkt < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich soll alle natürlichen Zahlen n=1,2,... bestimmen, für die [mm] \phi(n)=\frac{n}{2} [/mm] gilt [mm] (\phi [/mm] ist die Eulersche Phi-Fkt). Ich habe mir dazu folgendes überlegt:
[mm] \phi(n)=\frac{n}{2}\Longleftrightarrow \phi(2k)=k, [/mm] da n durch 2 teilbar sein muss.
1.Fall: ggT(2,k)=1
[mm] \phi(2k)=\phi(2)\phi(k)=\phi(k)=k
[/mm]
das ist für kein k erfüllt, da immer [mm] \phi(k)\leq [/mm] k, da k nie zu k teilerfremd ist.
2.Fall: ggT(2,k)=2, dann ist [mm] k=2^m\cdot [/mm] q für ein [mm] q\in\IN, [/mm] ggT(2,q)=1
[mm] \phi(2k)=\phi(2^{m+1}q)=\phi(2^{m+1})\phi(q)=2^m(2-1)\phi(q)=k=2^m\cdot [/mm] q
also gilt: [mm] \phi(q)=q, [/mm] was wieder nicht erfüllt sein kann.
Also gilt [mm] \phi(n)=\frac{n}{2} [/mm] niemals.
Stimmt mein Beweis? Oder hat vielleicht jemand eine schönere Idee?
Danke! 
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Hallo Balendilin,
gute Idee.
> ich soll alle natürlichen Zahlen n=1,2,... bestimmen, für
> die [mm]\phi(n)=\frac{n}{2}[/mm] gilt [mm](\phi[/mm] ist die Eulersche
> Phi-Fkt). Ich habe mir dazu folgendes überlegt:
>
>
> [mm]\phi(n)=\frac{n}{2}\Longleftrightarrow \phi(2k)=k,[/mm] da n
> durch 2 teilbar sein muss.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 1.Fall: ggT(2,k)=1
> [mm]\phi(2k)=\phi(2)\phi(k)=\phi(k)=k[/mm]
> das ist für kein k erfüllt, da immer [mm]\phi(k)\leq[/mm] k, da k
> nie zu k teilerfremd ist.
> 2.Fall: ggT(2,k)=2, dann ist [mm]k=2^m\cdot[/mm] q für ein [mm]q\in\IN,[/mm]
> ggT(2,q)=1
>
> [mm]\phi(2k)=\phi(2^{m+1}q)=\phi(2^{m+1})\phi(q)=2^m(2-1)\phi(q)=k=2^m\cdot[/mm]
> q
> also gilt: [mm]\phi(q)=q,[/mm] was wieder nicht erfüllt sein
> kann.
> Also gilt [mm]\phi(n)=\frac{n}{2}[/mm] niemals.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Stimmt mein Beweis? Oder hat vielleicht jemand eine
> schönere Idee?
Na, da bin ich gespannt, ob es noch schöner geht. Ich sehe da nichts.
> Danke!
Gut gemacht! ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Fr 08.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > ich soll alle natürlichen Zahlen n=1,2,... bestimmen, für
> > die [mm]\phi(n)=\frac{n}{2}[/mm] gilt [mm](\phi[/mm] ist die Eulersche
> > Phi-Fkt). Ich habe mir dazu folgendes überlegt:
> >
> >
> > [mm]\phi(n)=\frac{n}{2}\Longleftrightarrow \phi(2k)=k,[/mm] da n
> > durch 2 teilbar sein muss.
>
>
>
> > 1.Fall: ggT(2,k)=1
> > [mm]\phi(2k)=\phi(2)\phi(k)=\phi(k)=k[/mm]
> > das ist für kein k erfüllt, da immer [mm]\phi(k)\leq[/mm] k,
> da k
> > nie zu k teilerfremd ist.
>
>
Naja, das stimmt nicht ganz. Fuer $k = 1$ gilt [mm] $\phi(k) [/mm] = k$.
> > 2.Fall: ggT(2,k)=2, dann ist [mm]k=2^m\cdot[/mm] q für ein [mm]q\in\IN,[/mm]
> > ggT(2,q)=1
> >
> >
> [mm]\phi(2k)=\phi(2^{m+1}q)=\phi(2^{m+1})\phi(q)=2^m(2-1)\phi(q)=k=2^m\cdot[/mm]
> > q
> > also gilt: [mm]\phi(q)=q,[/mm] was wieder nicht erfüllt sein
> > kann.
>
>
Hier genau das gleiche: daraus folgt $q = 1$.
Womit [mm] $\phi(n) [/mm] = [mm] \frac{n}{2}$ [/mm] genau dann gilt, wenn $n = [mm] 2^k$ [/mm] ist fuer $k > 0$.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Fr 08.07.2011 | | Autor: | reverend |
Ooops.
Hallo Felix,
> Womit [mm]\phi(n) = \frac{n}{2}[/mm] genau dann gilt, wenn [mm]n = 2^k[/mm]
> ist fuer [mm]k > 0[/mm].
Das habe ich übersehen. Danke für die Korrektur!
Ich stecke gerade zu tief in semiprimen Strukturen, da kommt die 2 so gar nicht mehr vor...
Hoffentlich übersehe ich da nicht auch derart Wesentliches.
Grüße
reverend
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