eulerscher multiplikator < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
hallo zusammen,
ich soll für die DGL einen eulerschen mulitplikator finden und eine Funktion F, die die lösungen u(t) der DGL F(t,u(t))=const. charakterisiert.
[mm](3t^2 - u^2) *u' -2tu= 0[/mm]
meine idee
[mm]h(t,u)=(3t^2 - u^2)[/mm]
[mm]g(t,u)=-2tu[/mm]
g nach u ableiten gibt -2t
h nach t ableiten gibt 6t
also nicht exakt
[mm]\frac{1}{g} *(g_{u} -h_{t})=\frac{4}{u} [/mm]
nur von u abhängig
suche M(u)
setze dM/dt=0
[mm]M*6t=\frac{dM}{du} g+M*(-2t)[/mm]
...
[mm]\frac{-4}{u} *M= M'[/mm]
daraus bekomm ich mit trennung der variablen
[mm]M=(-8log(u)+2c)^{1/2}[/mm]
stimmt das so?
|
|
| |
|
ich find den vorzeichenfehler nicht. g(t,u) ist schon -2tu oder??
|
|
|
| |
|
mit trennung der variablen bekomm ich folgendes raus,
[mm] M=(-8log(u)+2c)^{1/2}
[/mm]
stimmt das??
|
|
|
| |
|
Hallo Sabrinchen101,
> mit trennung der variablen bekomm ich folgendes raus,
> [mm]M=(-8log(u)+2c)^{1/2}[/mm]
> stimmt das??
Nein, das stimmt nicht.
Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
also ich hab
[mm](-4/u)*M=M'(u)[/mm]
[mm]-4/u =g(u)[/mm]
[mm]M=h(M)[/mm]
--> G(u)=-4log(u)+c
[mm] H(M)=0,5*M^2
[/mm]
stimmt das so weit?
danach hab ich es gleichgesetzt und dann kam für M das obige raus
|
|
|
| |
|
Hallo Sabrinchen101,
> also ich hab
> [mm](-4/u)*M=M'(u)[/mm]
>
Umgeformt lautet das:
[mm]-\bruch{4}{u}=\bruch{M'}{M}[/mm]
> [mm]-4/u =g(u)[/mm]
> [mm]M=h(M)[/mm]
>
> --> G(u)=-4log(u)+c
> [mm]H(M)=0,5*M^2[/mm]
>
Hier muss doch stehen:[mm]H\left(M\right)=\operatorname{log}\left(M\right)[/mm]
> stimmt das so weit?
> danach hab ich es gleichgesetzt und dann kam für M das
> obige raus
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
ach ja stimmt,
dann bekomm ich
[mm]M(u)=e^{-4log(u)+c}[/mm], das ist dann der eulersche muliplikator.
jetzt brauch ich noch die funktion F.
dazu mach ich mir ein neues [mm]g*=g*M(u)=-2tu*e^{-4log(u)+c}[/mm]
[mm]h*=h*M=(3t^2-u^2)*e^{-4log(u)+c}[/mm]
[mm] dg*/du=6t*e^{-4log(u)+c}
[/mm]
[mm] dh*/dt=6t*e^{-4log(u)+c}
[/mm]
also sind die beiden nun exakt.
[mm]g*=!\frac{dF}{dt} => -t^2u*e^{-4log(u)+c}=F(tu)[/mm]
[mm]\frac{dF}{du}!=h* =>3t^2*e^{-4log(u)+c}+c'(u)!=(3t^2-u^2)*e^{-4log(u)+c}[/mm]
[mm]c'(u)=-u^2*e^{-4log(u)+c}[/mm]
stimmt das soweit? eigentlich muss ich ja jetzt c(u) berechnen, aber da kommt so was langes kompliziertes raus....
|
|
|
| |
|
Hallo Sabrinchen101,
> ach ja stimmt,
>
> dann bekomm ich
> [mm]M(u)=e^{-4log(u)+c}[/mm], das ist dann der eulersche
> muliplikator.
>
Das kannst Du noch etwas anders schreiben.
> jetzt brauch ich noch die funktion F.
> dazu mach ich mir ein neues [mm]g*=g*M(u)=-2tu*e^{-4log(u)+c}[/mm]
> [mm]h*=h*M=(3t^2-u^2)*e^{-4log(u)+c}[/mm]
>
> [mm]dg*/du=6t*e^{-4log(u)+c}[/mm]
> [mm]dh*/dt=6t*e^{-4log(u)+c}[/mm]
>
> also sind die beiden nun exakt.
>
> [mm]g*=!\frac{dF}{dt} => -t^2u*e^{-4log(u)+c}=F(tu)[/mm]
>
> [mm]\frac{dF}{du}!=h* =>3t^2*e^{-4log(u)+c}+c'(u)!=(3t^2-u^2)*e^{-4log(u)+c}[/mm]
>
> [mm]c'(u)=-u^2*e^{-4log(u)+c}[/mm]
>
> stimmt das soweit? eigentlich muss ich ja jetzt c(u)
> berechnen, aber da kommt so was langes kompliziertes
> raus....
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
als [mm]u^{-4}*e^c=M(u)[/mm] ???
|
|
|
| |
|
Hallo,
> als [mm]u^{-4}*e^c=M(u)[/mm] ???
Du hattest:
$M' [mm] \; =\; [/mm] - [mm] \frac{4}{u}*M$
[/mm]
TdV:
[mm] $\int \frac{1}{M} \; [/mm] dM [mm] \; [/mm] = [mm] \; -4*\int \frac{1}{u} \; [/mm] du$
$ln|M| [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] -4*ln|u|$ (Eine Integr.-Konstante braucht man hier nicht.)
$M [mm] \; [/mm] = [mm] \; e^{-4*ln(u)} \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{u^4}$
[/mm]
Probe:
[mm] $\left(3*\frac{t^2}{u^4}-\frac{1}{u^2} \right)\; du+\left( -2*\frac{t}{u^3}\right) \; [/mm] dt [mm] \; [/mm] =0$
$A [mm] \; [/mm] du [mm] \; [/mm] + [mm] \; [/mm] B [mm] \; [/mm] dt [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 0$
[mm] $A_t=6*\frac{t}{u^4}\; [/mm] = [mm] \; B_u [/mm] $
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
ach ok, danke :)
jetzt bekomm ich auch ne gescheite funktion raus :)
LG
|
|
|
| |
|
bzw. ich hab doch noch ne kleine frage.
und zwar hab ich jetzt die funktion [mm]F(t,u)=-t^2*u^{-3}+\frac{1}{u}[/mm]
wobei [mm]\frac{1}{u}[/mm] das errechnete c(u) ist. muss ich jetzt die gleichung F(t,u) noch gleich c setzen. hab das bei anderen rechnungen im internet oft gesehn. also [mm]F(t,u)=-t^2*u^{-3}+\frac{1}{u}=c[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo sabrinchen101,
> bzw. ich hab doch noch ne kleine frage.
> und zwar hab ich jetzt die funktion
> [mm]F(t,u)=-t^2*u^{-3}+\frac{1}{u}[/mm]
>
> wobei [mm]\frac{1}{u}[/mm] das errechnete c(u) ist. muss ich jetzt
> die gleichung F(t,u) noch gleich c setzen. hab das bei
> anderen rechnungen im internet oft gesehn. also
> [mm]F(t,u)=-t^2*u^{-3}+\frac{1}{u}=c[/mm]
>
Ja. Die Integrationskonstante kann hier nicht weggelassen werden; also:
[mm]F(t,u)=-t^2*u^{-3}+\frac{1}{u}=c[/mm]
oder
[mm]F(t,u)=-t^2*u^{-3}+\frac{1}{u} \; \pm c=0[/mm]
LG, Martinius
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
