exakt homogen implizit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Definiere folgende Begriffspaare und bringe sie in Beziehung zueinander.
Differentialgleichung:
exakt, ?
implizite und explizite Form
inhomogen, homogen
Was bedeutet der Ausdruck "allgemeine" DGL-Lösung (gibt es auch "unallgemeine")? |
Hallo,
in der Uni haben sie uns auf die letzten zwei Übungen wiedermal die Tonnen von neuen Begriffen um die OHren geschossen....Nun wühl ich mich grad durch...aber iwie werd ich nicht sicherer, sondern unsicherer.
Hab mir gerade selbst die o.g. AUfgabe gestellt, um Ordnung zu schaffen im Kopf.
Könnt ihr korrigieren bzw. helfen?
a) das konnte ich nicht wirklich rausfinden...v.a. nicht, was das mit dem begriff "in- bzw. homogene DGL" zu tun hat...
b)implizite Form der allgmeinen Lösung: Schreibweise [mm] F_x(x.y.y'...)=..., [/mm] explizite SW: y= f(x,y,y'..)
-->Frage: Warum zwei verschieden Schreibweisen? Wann welche?
c) bezogen auf DGL: wenn nicht "=0" darsteht: inhomogen, sonst homogen...
Oh mann  ich hoff ihr helft mir, ich verlier mich grad dadrinn....
LZ
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Hallo Loewenzahn,
ich hab für dich mal ein paar Links herausgesucht,
wo du relativ knappe - und hoffentlich treffende -
Antworten auf deine Fragen finden kannst.
exakte DGL:
![[]](/images/popup.gif) Link
implizit/explizit:
Link
-->Frage: Warum zwei verschiedene Schreibweisen?
Wann welche?
Wenn es möglich ist, eine DGL in expliziter
Form zu schreiben, ist dies im Allgemeinen
vorzuziehen. Das ist jedoch nicht immer
möglich, so wie man auch nicht alle Funk-
tionen in expliziter Form hinschreiben kann.
homogen/inhomogen:
Link
Die Begriffe homogen und inhomogen beziehen
sich auf lineare Differentialgleichungen.
Man löst zunächst die homogene DGL, bei
welcher rechts Null steht. Diese hat dann
eine ganze Schar möglicher Lösungen, die
sich als Linearkombination gewisser Grund-
funktionen wie z.B. Sinus, Cosinus, Expo-
nentialfunktion darstellen lassen.
In einem zweiten Schritt sucht man eine
einzige spezielle Lösungsfunktion für die
inhomogene Gleichung. Wenn man eine
solche gefunden hat, erhält man die Menge
aller Lösungen der inhomogenen DGL,
wenn man zur speziellen Lösung die
"allgemeine" Lösung der homogenen
addiert.
Mit "allgemeiner Lösung" ist also eine
Formel gemeint, die zu jeder beliebigen
möglichen Lösungsfunktion führt, wenn
man nur den in ihr vorkommenden Para-
metern ihre Zahlenwerte zuweist.
Durch diese Parameterfestlegung kann
man dann bei Anwendungsproblemen
aus der Vielfalt aller möglichen Lösungen
diejenige herauspicken, die man gerade
braucht. Diese ist dann wieder eine
"spezielle" oder Partikulär-Lösung.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Sa 11.07.2009 | | Autor: | Loewenzahn |
dankesehr...den einen aus wiki kannte ich natürlich, aber erst mit deiner unterteilung hat der ein bisschen licht ins dunkel gebracht...
habe mich jetzt gleich auf eine aufgabe gestürzt...hm, da ich nicht erfolgreich war, kommt die frage jetzt auch hier rein :-(
grüße aber danke schon mal!
LZ
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Ein Beispiel für eine DGL 2. Ordnung, die
man nur in impliziter Form angeben kann:
| Aufgabe | | $\ [mm] y''-cos(y'')-\bruch{\pi}{2}=0$ [/mm] |
Die DGL ist allerdings leicht zu lösen und
ist deshalb nur eine nette kleine Übung.
Für ein Anfangswertproblem könnte man
z.B. noch die Bedingungen vorgeben:
$\ [mm] y(1)=y'(1)=\bruch{3\,\pi}{4}$
[/mm]
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Do 16.07.2009 | | Autor: | Loewenzahn |
dankeschön für das extra beispiel...auch wenn dgl 2.O bei uns sicher nicht drankommen
lg, LZ
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:14 Fr 17.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Das Beispiel von Al
$ \ [mm] y''-cos(y'')-\bruch{\pi}{2}=0 [/mm] $
kannst Du auch in eine DGL 1. Ordnung umschreiben: Setze z=y'. Dann:
$ \ [mm] z'-cos(z')-\bruch{\pi}{2}=0 [/mm] $.
Sogar in eine DGL "0. Ordnung": Setze u = y''.
$ \ [mm] u-cos(u)-\bruch{\pi}{2}=0 [/mm] $
FRED
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| Aufgabe | xy'+y= [mm] 7x*e^{-x^{2}}
[/mm]
Geben Sie die a)allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL und b)die allg. Lsg der inhomogenen DGL an |
Hallo, ihc habe jetzt doch nochmal eine Frage:
Obig genannte Aufgabe. Ich habe 3 Werkzeuge zur Lösung einer DGL kennen gelernt:
1.Trennung der Variabeln,
2.Variation der Konstanten,
3. Schreiben der DGL in der Form P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 und dann mittels ableiten/integrieren von P und abgleichen mit Q den ausdruck für c(y) finden....
Nur bin ich noc nicht so ganz sicher, wann ich jetzt welches verfahren anwenden kann/muss/darf:
Dass ich die
dritte Lösung für exakte,
die zweite für den inhomogenen teil einer dgl und
die erste lösungsmöglichkeit für den homogenenteil bzw eine gänzlich homogene dgl benutze und das die dritte eben NUR bei exakten funktioniert (es sei denn ich multiplizieren mit einem integrierenden faktor durch, danach ist eine unexakte auch exakt und die methode wieder anwendbar), ist mir klar.
aber: obige aufgabe: ich wäre jetzt sofort auf die TdV (1.) methode geschossen, einfach, weil das stichwort homogen/inhomogen fiel. dabei interessiert es mich ja garnicht, ob sie exakt ist, oder nicht...
aber mal doof gefragt: was wäre denn mit der PQ-lösungsvariante? könnte die nich auch zum zug kommen? schließlich dachte ich, dass diese dgl exakt ist:
[mm] x*\bruch{dy}{dx}+y= 7x*e^{-x^{2}}
[/mm]
xdy+(y- [mm] 7x*e^{-x^{2}})*dx=0
[/mm]
-->P=(y- [mm] 7x*e^{-x^{2}}), [/mm] Q=x
P nach y abgeleitet=1, Q nach x abgeleitet =1 ----> exakt????
Heißt das, dass mir die anwendung der pq-methode die lösung der exakten dgl liefert, was gleichzeitig auch die "allgemeine lösung der INhomogenen dgl" liefert/ist,
dass ich aber
wohl eher die Methode der zwei schritte der TdV und der VdK anwende, weil ich nach der PQ-Methode ja eh nochmal TdV machen müsste, d.h. den (7x...-teil einfach weglassen müsste) um dann die frage nach der homogenen lösung beantworten zu können??
mir geht es darum, dass ich der klausur nicht vllt aus mangelndem überblick mit kanonen auf spatzen schieße...wobei ich keines der verfahren besonders schnell finde o.ä.....gibt es also irgendeine "besonders schlaue" lösung der obigen aufgabe bzw. stimmt meine überlegung mit den zwei lösungsmöglichkeiten?
viele grüße und danke
LZ
p.s.:woher weiß eigentlich genau, welchen teil ich weglasse, damit ich die
"homogene" ausgangsfunktion habe. lasse ich immer die terme weg, die nur von x abhäni sind, also kein "y" als var. haben? deswegen hier 7xe...
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[mm] xy'+y=7x*e^{-x^{2}}
[/mm]
Hallo Loewenzahn,
deine vielen Fragen habe ich noch gar
nicht alle gelesen. Aber für die vor-
liegende DGL hatte ich recht rasch eine
nützliche Idee:
Substitution $\ z:=x*y$
Funktioniert prima.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Loewenzahn |
Deine Idee ist ja sehr schön, hilft mir nur leider bei meinem Problem überhaupt nich...Ich hatte ja kein Problem beim Lösen.....das ist ja schema F...
Hm, ja, es war viel text...hab mir schon gedacht, dass sich wohl keiner die Mühe machen wird, meine theoretischen Fragen zu lesen....
da will man einmal "nicht einfach iwas reproduzieren"/anwenden, was man gelernt hat, sondern das zeuch richtig verstehen...und dann.... ;-D
naja, wie gesagt danke, aber leider bleiben meine fragen wohl ungeklärt...vllt auch zu blöd geschrieben...wird in der klausur auch niemanden interessieren...schema F, ich komme :-((
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