exakte Sequenz < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:52 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Bilinearform $B:V [mm] \times [/mm] W [mm] \to [/mm] K$. Es sei $S [mm] \subseteq [/mm] V$ ein Unterraum. Man gebe eine Sequenz
$ 0 [mm] \to S^{\perp} \to [/mm] W [mm] \to S^{\ast}$
[/mm]
an, die an den Stellen $W$ und [mm] $S^{\perp}$ [/mm] exakt ist. Hierbei ist [mm] $S^{\ast}$ [/mm] der Dualraum von $S$. |
Hallo,
nur mal zur Überprüfung:
Nenne die Abbildungen $f:0 [mm] \to S^{\perp}, g:\to S^{\perp} \to [/mm] W, h: W [mm] \to S^{\ast}$.
[/mm]
Dann muss man $f,g$ und $h$ so bestimmen, dass
[mm] $\mathrm{Im}(f)=\ker(g)$ [/mm] und [mm] $\mathrm{Im}(g)=\ker(h)$ [/mm] gilt. Für $f$ kann ich irgendeine Abbildung nehmen, dann nehme ich für $g$ einen Monomorphismus, also z.B. die Inklusion. Dann müsste $h$ jetzt eine Abbildung sein, deren Kern [mm] $S^{\perp}$ [/mm] ist. Wähle deshalb $h(w)=B( [mm] \cdot, [/mm] w)$, wobei das erste Argument der Bilinearform $B$ auf $S$ eingeschränkt sein soll. Ist dann $w$ im Kern von $h$, so müsste [mm] $B(\cdot, [/mm] w)=0$ sein, d.h. $B(s,w)=0$ für alle $s [mm] \in [/mm] V$. Dies gilt genau dann, wenn $w [mm] \in S^{\perp}$ [/mm] liegt.
Stimmt das so?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 19.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
