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| Aufgabe | Sei S eine beliebige nichtleere Teilmenge von [mm] \IR^{n}. [/mm] Zeige Sie, dass die Menge
F= {x [mm] \IR^{n}:x \in [/mm] S,x [mm] \ge [/mm] 0}
keine Gerade enthält. |
Hallo
Ich habe diese Aufgabe benahe gelösst. Dies ist mein Lösungsanfang
Annahem: es existiert mindestens 1. Gerade
(1- [mm] \lambda [/mm] ) [mm] x^{1} [/mm] + [mm] \lambda x^{2} [/mm] P
[mm] \Rightarrow \lambda \ge [/mm] 0 ansonsten [mm] x^{2} [/mm] < 0
da 0 F ist, wähle [mm] x^{2}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow (1-\lambda), [/mm] da [mm] \lambda \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] (1- [mm] \lambda)x^{1} [/mm] kein Element von P, da (1- [mm] \lambda)<0 [/mm] ist.
Das einzige Problem ist, wenn 0 [mm] \le \lambda \le [/mm] 1 ist.
Ist mein Ansatz so richtig? Und kann mit jemand noch einen Tip geben für den letzten Teil?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Aufgabe | Sei S eine beliebige nichtleere Teilmenge von [mm] \IR^n. [/mm]
Zeige Sie, dass die Menge
$\ F= [mm] \{x \in\IR^n:x \in S,x \ge 0\}$
[/mm]
keine Gerade enthält.
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Hallo Mathias
Für [mm] x\in\IR^n [/mm] ist die Relation [mm] x\ge [/mm] 0 gar nicht definiert.
Was ist genau gemeint ??
(und verwende doch für die Elementrelation nicht das
Eurosymbol, sondern das Symbol [mm] "\in" [/mm] ( TeX: [mm] "\backslash{in}" [/mm] )
Gruß
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Hallo
Danke für die Antwort. Ich habe die Angabe genau von dem Blatt kopiert.
So wie ich es verstanden habe, ist damit alles im positiven Bereich gemeint.Leider kann ich keine Zeichung posten, da es daran am einfachsten zu erklären ist.
Lg
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> Hallo
>
> Danke für die Antwort. Ich habe die Angabe genau von dem
> Blatt kopiert.
> So wie ich es verstanden habe, ist damit alles im
> positiven Bereich gemeint.
hallo Mathias
So wie die Aufgabe da steht:
| Aufgabe | Sei S eine beliebige nichtleere Teilmenge von [mm] \IR^{n}. [/mm] Zeige Sie, dass die Menge
F= {x [mm] \IR^{n}:x \in [/mm] S,x [mm] \ge [/mm] 0}
keine Gerade enthält. |
macht sie keinen Sinn. Das ist also wieder einer der
Fälle, wo man zuerst die Aufgabenstellung verbessern
muss, bevor man wirklich an die Lösung gehen kann.
(Bitte dies dem Urheber der Aufgabe mitzuteilen !)
Ich kann mir nur vorstellen, dass gemeint ist, dass
alle einzelnen Komponenten von x nichtnegativ sein
sollen, also wäre
$\ F= [mm] \{x \in \IR^{n}:x \in S, \ x_1 \ge 0, \ x_2 \ge 0, \ x_3 \ge 0, ... , \ x_n \ge 0\}$
[/mm]
Im [mm] \IR^1 [/mm] wäre dies die positive Halbgerade, im [mm] \IR^2 [/mm] der
erste Quadrant, im [mm] \IR^3 [/mm] der erste Oktant, etc.
Zu beweisen bleibt dann, wie du schon gesehen hast,
folgende Aussage:
"Sind A und B zwei Punkte in F, so gibt es auf der
Geraden AB einen Punkt, der nicht in F liegt, der
also wenigstens eine negative Koordinate hat."
Dies kann man so einsehen:
Enthielte F eine Gerade, so wären darauf zwei
voneinander verschiedene Punkte A und B zu finden.
Weil [mm] A\not=B, [/mm] müssten sie sich in mindestens einer
der n Koordinaten unterscheiden. Sei z.B. [mm] x_i(A)=a
[/mm]
und [mm] x_i(B)=b [/mm] mit a<b (andernfalls: Bezeichnungen
vertauschen!).
Nun geben wir einen Punkt P auf AB an, für den
[mm] x_i(P)=p<0 [/mm] ist:
[mm] P=A+t*\overrightarrow{AB} [/mm] mit [mm] t=\bruch{b}{a-b}
[/mm]
ist ein solcher Punkt, denn
[mm] x_i(P)=p=x_i(A)+t*(x_i(B)-x_i(A))=a+\bruch{b}{a-b}*(b-a)=a-b<0
[/mm]
Gruß Al-Chw.
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