exp-Darstellung komplexer Z. < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
Ich habe hier zwei Rechnungen, wo ich bei der Ersten meine, den unzulässigen Rechenschritt gefunden zu haben. Bei der zweiten Rechnung bin ich im Moment etwas ratlos.
(1) [mm]-1=\operatorname{i}^2=\sqrt{-1}\cdot{}\sqrt{-1}\mathrel{\textcolor{red}{=}}\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=1[/mm]
Ich meine, der unzulässige Rechenschritt steckt beim roten Gleichheitszeichen, denn [mm]\sqrt{-1}[/mm] ist in [mm]\mathbb{R}[/mm] nicht definiert. Somit kann man auch keine Umformung, wie oben angegeben machen.
(2) [mm]-1=e^{\operatorname{i}\pi}=e^{\operatorname{i}2\pi\cdot{}\frac{1}{2}}=\left(e^{\operatorname{i}2\pi}\right)^{1/2}=1^{1/2}=1[/mm]
Ich vermute, hier gibt es eine ähnliche Erklärung wie bei (1).
Gruß V.N.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo zusammen,
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> Ich habe hier zwei Rechnungen, wo ich bei der ersten meine,
> den unzulässigen Rechenschritt gefunden zu haben. Bei der
> zweiten Rechnung bin ich im Moment etwas ratlos.
>
> (1)
> [mm]-1=\operatorname{i}^2=\sqrt{-1}\cdot{}\sqrt{-1}\mathrel{\textcolor{red}{=}}\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=1[/mm]
>
> Ich meine, der unzulässige Rechenschritt steckt beim roten
> Gleichheitszeichen, denn [mm]\sqrt{-1}[/mm] ist in [mm]\mathbb{R}[/mm] nicht
> definiert. Somit kann man auch keine Umformung, wie oben
> angegeben machen.
Eigentlich hättest du das vorangehende Gleichheitszeichen
als falsch markieren sollen, denn schon dort wird ja so
getan, als könne man problemlos i durch [mm] \sqrt{-1} [/mm] ersetzen.
> (2)
> [mm]-1=e^{\operatorname{i}\pi}=e^{\operatorname{i}2\pi\cdot{}\frac{1}{2}}=\left(e^{\operatorname{i}2\pi}\right)^{1/2}=1^{1/2}=1[/mm]
>
> Ich vermute, hier gibt es eine ähnliche Erklärung wie bei
> (1).
Ja, auch da kommt ja das Potenzieren mit dem Expo-
nenten [mm] \frac{1}{2} [/mm] so vor, als ob dies eine klar definierte
Rechenoperation wäre. Dem ist nicht so.
Der Begriff der Wurzel (Quadratwurzel, Kubikwurzel etc.)
und damit Potenzen mit gebrochenen Exponenten ist für
positive reelle Zahlen eindeutig definiert, jedoch nicht für
negative bzw. echt komplexe Zahlen.
Siehe dazu auch  Wurzel .
LG Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi,
Danke für die Antwort! Das Problem bei Rechnung (1) ist mir jetzt klar geworden. Nur bei (2) habe ich noch Schwierigkeiten. Du schreibst, die Wurzel für echt komplexe Zahlen sei undefiniert. Aber ich habe jetzt nach einigen Beispielen im Forum gesucht und z.B. diesen Artikel hier gefunden. Ist dort die Berechnung von [mm]\sqrt{2\!\operatorname{i}}[/mm] verkehrt? Oder vielleicht ist die Antwort dort an manchen Stellen "ungenau" aber dennoch im Großen und Ganzen richtig?
Gruß V.N.
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> Hallo Al-Chwarizmi,
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> Danke für die Antwort! Das Problem bei Rechnung (1) ist
> mir jetzt klar geworden. Nur bei (2) habe ich noch
> Schwierigkeiten. Du schreibst, die Wurzel für echt
> komplexe Zahlen sei undefiniert. Aber ich habe jetzt nach
> einigen Beispielen im Forum gesucht und z.B.
> diesen Artikel hier gefunden. Ist dort die
> Berechnung von [mm]\sqrt{2\!\operatorname{i}}[/mm] verkehrt? Oder
> vielleicht ist die Antwort dort an manchen Stellen
> "ungenau" aber dennoch im Großen und Ganzen richtig?
>
> Gruß V.N.
Guten Abend,
ich habe mir diesen Artikel kurz angeschaut. Dort steht
zum Beispiel:
[m]\begin{gathered}
\sqrt {2i} = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{{\frac{\pi }
{2} + \xi 2\pi }}
{2} + i\sin \frac{{\frac{\pi }
{2} + \xi 2\pi }}
{2}} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }
{4} + i\sin \frac{\pi }
{4}} \right) \hfill \\
= \sqrt 2 \left( {\frac{1}
{{\sqrt 2 }} + i\frac{1}
{{\sqrt 2 }}} \right) = 1 + i \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Im zweiten Term, dort wo das [mm] \xi [/mm] noch vorkommt, ist
der Tatsache Rechnung getragen, dass die Wurzel nicht
eindeutig definiert ist, sondern je nach gewähltem [mm] $\xi\quad (\xi\in\IZ)$
[/mm]
unterschiedliche Werte haben kann. Das ist soweit in
Ordnung, falls man der Mehrdeutigkeit wirklich bewusst
ist. Dann wird aber einfach [mm] \xi [/mm] gleich Null gesetzt und damit
eine der zwei möglichen Lösungen der Gleichung [mm] z^2=2\,i
[/mm]
herausgepickt und als "die" Quadratwurzel von [mm] 2\,i [/mm] deklariert.
Letzteres ist nicht zuläßig, weil man auf diese Weise in
Konflikte mit den Rechenregeln hinein läuft, wie sie in
deiner Aufgabe angesprochen werden.
LG Al-Chw.
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Ist der folgende Gedankengang richtig?
Die Gleichung [mm]\left(e^{\operatorname{i}2\pi}\right)^{1/2}=\sqrt{1}=1[/mm] stimmt. Was aber nicht stimmt, ist [mm]e^{\operatorname{i}\pi}=\left(e^{\operatorname{i}2\pi}\right)^{1/2}[/mm]. Denn dann würde ja Folgendes gelten:
[mm]\left(e^{\operatorname{i}\pi}\right)^{1/1}=\sqrt {(-1)^2}\left( {\cos \frac{{\arctan \left( {\frac{0} {-1}} \right) + \xi 2\pi }} {1} + i\sin \frac{{\arctan \left( {\frac{0} {-1}} \right) + \xi 2\pi }} {1}} \right)=\cos(\xi 2\pi)+\operatorname{i}\sin(\xi 2\pi)=1[/mm]
D.h. die Wurzeldarstellung ist im Komplexen offenbar nur für [mm]n\geqslant 2[/mm] sinnvoll definiert. Deshalb ist auch [mm]e^{\operatorname{i}\pi}=\left(e^{\operatorname{i}2\pi}\right)^{1/2}[/mm] falsch. Stimmt das so?
Gruß V.N.
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> Ist der folgende Gedankengang richtig?
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> Die Gleichung
> [mm]\left(e^{\operatorname{i}2\pi}\right)^{1/2}=\sqrt{1}=1[/mm]
> stimmt. Was aber nicht stimmt, ist
> [mm]e^{\operatorname{i}\pi}=\left(e^{\operatorname{i}2\pi}\right)^{1/2}[/mm].
> Denn dann würde ja Folgendes gelten:
>
> [mm]\left(e^{\operatorname{i}\pi}\right)^{1/1}=\sqrt {(-1)^2}\left( {\cos \frac{{\arctan \left( {\frac{0} {-1}} \right) + \xi 2\pi }} {1} + i\sin \frac{{\arctan \left( {\frac{0} {-1}} \right) + \xi 2\pi }} {1}} \right)=\cos(\xi 2\pi)+\operatorname{i}\sin(\xi 2\pi)=1[/mm]
Ich denke, die Überlegung ist soweit korrekt.
Einen Widerspruch wie $\ -1\ =\ +1$ darf man natürlich
nicht stehen lassen.
> D.h. die Wurzeldarstellung ist im Komplexen offenbar nur
> für [mm]n\geqslant 2[/mm] sinnvoll definiert.
Was meinst du mit n ?
> Deshalb ist auch
> [mm]e^{\operatorname{i}\pi}=\left(e^{\operatorname{i}2\pi}\right)^{1/2}[/mm]
> falsch. Stimmt das so?
Ja.
Ich würde sagen: wenn [mm] z\in\IC\backslash\IR_0^+ [/mm] und [mm] r\in\IQ\backslash\IZ [/mm] , so ist
der Term [mm] z^r [/mm] nicht definiert bzw. nicht problemlos
definierbar.
Siehe dazu auch ![[]](/images/popup.gif) Potenzen komplexer Zahlen
LG
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> Was meinst du mit n ?
Ich meinte das [mm]n\![/mm] aus der Wurzeldarstellung aus dem Beispielartikel, denn ich angegeben habe.
> Ich würde sagen: wenn [mm]z\in\IC\backslash\IR_0^+[/mm] und
> [mm]r\in\IQ\backslash\IZ[/mm] , so ist
> der Term [mm]z^r[/mm] nicht definiert.
Damit wäre meine Frage wohl beantwortet. Die Wurzeldarstellung im Komplexen (wie im Beispielartikel angegeben) ist mehrdeutig also nicht eindeutig definiert.
Danke für deine Hilfe und guten Rutsch ins neue Jahr!
Gruß V.N.
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> > Was meinst du mit n ?
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> Ich meinte das [mm]n\![/mm] aus der Wurzeldarstellung aus dem
> Beispielartikel, denn ich angegeben habe.
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> > Ich würde sagen: wenn [mm]z\in\IC\backslash\IR_0^+[/mm] und
> > [mm]r\in\IQ\backslash\IZ[/mm] , so ist
> > der Term [mm]z^r[/mm] nicht definiert.
>
> Damit wäre meine Frage wohl beantwortet. Die
> Wurzeldarstellung im Komplexen (wie im Beispielartikel
> angegeben) ist mehrdeutig also nicht eindeutig definiert.
>
> Danke für deine Hilfe und guten Rutsch ins neue Jahr!
>
> Gruß V.N.
Guten Morgen,
du hattest geschrieben:
> D.h. die Wurzeldarstellung ist im Komplexen
> offenbar nur für [mm]n\geqslant 2[/mm] sinnvoll definiert.
Der Term [mm] \sqrt[n]{z} [/mm] ist für echt komplexe oder negative
reelle Zahlen $z$ nicht einmal für diese n eindeutig
definiert, ausser man macht bestimmte Vorbehalte.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:35 So 27.12.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Ich frage mich, ob das:
> > (2)
> >
> [mm]-1=e^{\operatorname{i}\pi}=e^{\operatorname{i}2\pi\cdot{}\frac{1}{2}}=\left(e^{\operatorname{i}2\pi}\right)^{1/2}=1^{1/2}=1[/mm]
> >
nicht eigentlich genau der selbe Fehler ist wie wenn ich im Reellen sage:
-1 = [mm] (-1)^1 [/mm] = [mm] (-1)^{2*\bruch{1}{2}} \not=((-1)^2)^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] 1^{\bruch{1}{2}} [/mm] =1 ist?
Vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
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> Hallo,
> Ich frage mich, ob das:
[mm]-1=e^{\operatorname{i}\pi}=e^{\operatorname{i}2\pi\cdot{}\frac{1}{2}}=\left(e^{\operatorname{i}2\pi}\right)^{1/2}=1^{1/2}=1[/mm]
> nicht eigentlich genau der selbe Fehler ist wie wenn ich im
> Reellen sage:
> $-1\ =\ [mm] (-1)^1\ [/mm] =\ [mm] (-1)^{2*\bruch{1}{2}}\ \not=\ ((-1)^2)^{\bruch{1}{2}}\ [/mm] =\ [mm] 1^{\bruch{1}{2}}\ [/mm] =\ 1$ ?
Auf diese Weise, wenn du das Ungleichheitszeichen setzt,
ist dies ja gar kein Fehler !
Auch im Reellen müsste man sagen: Potenzen mit
gebrochenen Exponenten sind nicht zuläßig bzw.
zumindest problematisch, falls die Basis negativ ist.
Deshalb ist die Umformung
$\ [mm] (-1)^1\ [/mm] =\ [mm] (-1)^{\frac{2}{2}}\ [/mm] =\ [mm] (-1)^{2*\frac{1}{2}}$
[/mm]
schon "unheilträchtig" und der nächste Schritt zu
$\ [mm] \left((-1)^2\right)^{\frac{1}{2}}$
[/mm]
definitiv falsch.
LG Al-Chw.
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