exp.fkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:49 Fr 13.03.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute,
gibts eine anschauliche erklärung dafür, dass die ableitung einer exponentialfunktion f (der form [mm] f(x)=b^x, b\in(0,\infty)) [/mm] an einer stelle x immer das f'(0)-fache dieser stelle ergibt, also f'(x)=f(x)*f'(0)
danke und gruß ;)
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Mhh.. könntest du konkretisieren was du genau meinst ? Ich werde gerade noch nicht wirklich schlau aus diesen Angaben :
$$ f(x) := [mm] e^{\ln(b)x}\Rightarrow [/mm] f'(x)= [mm] \ln(b)e^{\ln(b)x} [/mm] $$
Für x=0 gilt dann:
$$ f(0) = 1, f'(0) = [mm] \ln(b) [/mm] $$
Wo soll hier dein x sein ?
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> Mhh.. könntest du konkretisieren was du genau meinst ?
Hallo,
es ist doch [mm] f'(x)=\ln(b)e^{\ln(b)x} [/mm] = [mm] \ln(b)*f(x) [/mm] = f'(0)*f(x)
und für dieses zu f(x) proportionale Wachstum (bzw. konstante relative Wachstum) der Ableitung sucht AriR eine anschauliche Erklärung.
Gruß v. Angela
> Ich
> werde gerade noch nicht wirklich schlau aus diesen Angaben
> :
>
> [mm]f(x) := e^{\ln(b)x}\Rightarrow f'(x)= \ln(b)e^{\ln(b)x}[/mm]
>
> Für x=0 gilt dann:
> [mm]f(0) = 1, f'(0) = \ln(b)[/mm]
> Wo soll hier dein x sein ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Fr 13.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> es ist doch [mm]f'(x)=\ln(b)e^{\ln(b)x}[/mm] = [mm]\ln(b)*[/mm] x = f'(0)*x,
Hä? Es ist [mm] $e^{\ln(b)x}=b^x\ne [/mm] x$...
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Fr 13.03.2009 | | Autor: | AriR |
angela hat das richtig erkannt. wo genau ist jetzt noch was offen? die geschichte mit der basis stimmt, also wenn [mm] f(x)=a^x [/mm] ,dann waren nur [mm] a\in\IR [/mm] mit a>1 gemeint. sorry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Fr 13.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> angela hat das richtig erkannt. wo genau ist jetzt noch was offen?
Sei [mm] $a\in(0,\infty)$ [/mm] fest gewählt. Es geht um die Abbildung [mm] $f:\IR\ni x\mapsto a^x\in\IR$. [/mm] Angela hat doch behauptet, dass gilt $f'(x)=f'(0)*x$, was aber eindeutig falsch ist (z.B. für $x=0$ und [mm] $a\ne [/mm] 1$).
Edit: Ich sehe Angela hat es nun korrigiert... also gemeint war $f'(x)=f'(0)*f(x)$.
> die geschichte mit der basis stimmt, also wenn
> [mm]f(x)=a^x[/mm] ,dann waren nur [mm]a\in\IR[/mm] mit a>1 gemeint. sorry
Es genügt $a>0$.
Gruß, Robert
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> Angela hat doch behauptet,
> dass gilt [mm]f'(x)=f'(0)*x[/mm],
Hallo,
das ist Schnee von gestern.
Angela hat sich inzwischen für f'(x)= ln(b)*f(x) entschieden.
Gruß v. Angela
> > die geschichte mit der basis stimmt, also wenn
> > [mm]f(x)=a^x[/mm] ,dann waren nur [mm]a\in\IR[/mm] mit a>1 gemeint. sorry
> Es genügt [mm]a>0[/mm].
>
> Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hey leute,
>
>
> gibts eine anschauliche erklärung dafür, dass die ableitung
> einer exponentialfunktion f (der form [mm]f(x)=b^x, b\in\IR)an[/mm]
> einer stelle x immer das f'(0) dieser stelle, also x*f'(0)
> ergibt?
bitte nicht $b [mm] \in \IR$ [/mm] (fest) schreiben. $f: [mm] \IR \to \IR$, $f(x)=b^x$ [/mm] $(x [mm] \in \IR)$ [/mm] macht nur für $b [mm] >\, [/mm] 0$ Sinn. Und für [mm] $b=1\,$ [/mm] ist das eine triviale Funktion (die ist dann konstant [mm] $=1\,$), [/mm] also geht es bei Deiner Frage um Funktionen
[mm] $$f(x)=b^x\;\;\;(x \in \IR)\;\text{ mit } [/mm] b [mm] \in (0,\infty)\setminus\{1\} \text{ fest}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Fr 13.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich sehe das genauso wie Robert.
[mm] f(x)=b^{x}
[/mm]
[mm] f'(x)=\ln(b)*b^{x}
[/mm]
Aber [mm] \ln(0) [/mm] ist nicht definiert, also auch f'(0) nicht.
Ausserdem ist doch vorgegeben [mm] b\red{>}0
[/mm]
Als Konkretisiere mal die Frage.
Marius
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> Hallo
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> Ich sehe das genauso wie Robert.
>
> [mm]f(x)=b^{x}[/mm]
> [mm]f'(x)=\ln(b)*b^{x}[/mm]
>
> Aber [mm]\ln(0)[/mm] ist nicht definiert, also auch f'(0) nicht.
Hallo,
ich kann in f'(x) sehr gut die 0 einsetzen...
Gruß v. Angela
> Ausserdem ist doch vorgegeben [mm]b\red{>}0[/mm]
>
> Als Konkretisiere mal die Frage.
>
> Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Fr 13.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ihre Bedeutung hat doch die Exponentialfkt in der Form
[mm] f(x)=a*e^x [/mm] oder der Form [mm] f(x)=c*b^x
[/mm]
dadurch, dass sie die Funktion ist, die durch eine konstante Wachstumsrate bestimmt ist, also durch f'(x)/f(x)= const.
dass bei konstantem Zinssatz dein Kapital immer so weiter waechst, wie am Anfang ist doch nicht verwunderlich. (wenigstens erwartest du das von ner Sparkasse die dir festen Zins zusagt.Eine Dgl 1. Ordnung ist durch einen Anfangswert festgelegt.
Auch bei anderen Wachstums oder Zerfallsgesetzen will man doch genau beschreiben, dass die Wachstumsrate konstant ist.
und der Wert, den man f(0) zuweist bestimmt damit den Wert f'(0)
Das ist alles.
Wenn du abweichend von der Definition durch die Dgl. die Exponentialfkt durch ne Reihe oder eine Funktionalgleichung definierst, kannst du daraus die Dgl herleiten und hast dasselbe.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Mo 16.03.2009 | | Autor: | AriR |
das hilft schonmal viel weiter..
kannst du vllt nochmal in anbetracht deines bsps mit den zinsen sagen, was dann hier genau f wäre und wie man definitons- und wertebreich zu deuten hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Mo 16.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ne, das versuch doch mal lieber selbst. Ich geb dir ein Anfangskapital von 10.000 Euro.Die Zinsen, also die Wachstumsrate machen wir grosszuegig 5%
gruss leduart
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