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exp: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:57 Mo 09.05.2005
Autor: LOLO

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


hallo!

könnte mir bitte jemand helfen? ich verstehe nicht, warum
exp(A) exp(B) = [mm] \pmat{ e & e \\ 0 & 1 } [/mm] ist, wobei
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] und B = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }. [/mm]

wie rechne ich das? vielen dank für antwort!
        
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exp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:09 Di 10.05.2005
Autor: Max

Hallo LOLO,

dir ein herzliches
[willkommenmr]

Der Ausdruck $Exp(A)$ wird ja über eine Reihe definiert, nämlich [mm] $Exp(A)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}A^k$. [/mm] Hast du denn man die Potenzen von $A$ bestimmt und eine Vermutung für [mm] $A^k$ [/mm] erhalten? Und für [mm] $B^k$? [/mm] Wenn du diese kennst kannst du leicht angeben was $Exp(A)$ bzw. $Exp(B)$ ist, dann musst du ja nur noch zwei Matrizen multiplizieren. Trotzdem vermute ich, dass nicht [mm] $\pmat{e & e\\0 & 1}$ [/mm] raus kommt. Woher kennst du die Lösung?

Gruß Max
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exp: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:23 Di 10.05.2005
Autor: Marcel

Hi Lolo und Max!

> Trotzdem vermute
> ich, dass nicht [mm]\pmat{e & e\\0 & 1}[/mm] raus kommt. Woher
> kennst du die Lösung?

Soweit ich mich nicht verrechnet habe, erhält man aber doch:
[m]\exp(A)*\exp(B)=\pmat{ e & 0 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } = \pmat{ e & e \\ 0 & 1 }[/m]
(Nach dem dritten Nachrechnen sollte es jetzt aber hoffentlich mal stimmen, langsam zweifle ich an mir selbst [kopfkratz2]...)  

Viele Grüße,
Marcel
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exp: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:49 Di 10.05.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo Marcel,
Ich bekomme
exp(A)= [mm] \pmat{ e & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] weil das ja schon so schön Diagonalgestalt hat.
und exp(B)=B wg. B*B=0
viele Grüße
Christian

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exp: Nö, da A^0=B^0=I_2
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:57 Di 10.05.2005
Autor: Marcel

Hallo Christian!

Leider nicht, da [mm] $\frac{A^0}{0!}=\frac{B^0}{0!}=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$ [/mm] ;-)
Daher erhalten wir:
[mm]\exp(A)=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}+\pmat{e-1 & 0 \\ 0 & 0}=\pmat{e & 0 \\ 0 & 1}[/mm],

[m]\exp(B)=\frac{B^0}{0!}+\frac{B}{1!}=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}+\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}=\pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}[/m]

Viele Grüße,
Marcel
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exp: Ja klar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:22 Di 10.05.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo Marcel,
Bei mir ist halt [mm]e^0=0[/mm] [Dateianhang nicht öffentlich]
viele Grüße
Christian
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exp: Achso *g*
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:53 Di 10.05.2005
Autor: Marcel

Hallo Christian!

> Hallo Marcel,
>  Bei mir ist halt [mm]e^0=0[/mm] [Dateianhang nicht öffentlich]

[grins]

Viele Grüße,
Marcel
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exp: Rechnung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:34 Di 10.05.2005
Autor: Marcel

Hallo!

Damit auch andere meine Rechnung ggf. als "falsch" markieren können ;-) (aber es kommt das Gewünschte raus [huepf]), rechne ich es dir mal vor:
Es ist (hier) bekanntlich (und zwar definitionsgemäß!):
[mm] $A^0=B^0=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$. [/mm]

Weiter hat man:
[mm] $A^k=A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }$ [/mm] für [mm] $k=1,\;2,\;3,\;\ldots$ [/mm]

[mm]B^1=B=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] sowie:

[mm] $B^k=\pmat{0&0\\0&0}$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN_{\ge 2}$. [/mm]

Also folgt:
[mm]\exp(A)=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}+\summe_{k=1}^{\infty}\frac{A^k}{k!}[/mm]

[mm]=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}+\summe_{k=1}^{\infty}\left[\frac{1}{k!}*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }\right][/mm]

[mm]=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}+\pmat{ \summe_{k=1}^\infty \frac{1^k}{k!} & 0 \\ 0 & 0 } =\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}+\pmat{ e-1 & 0 \\ 0 & 0 } =\pmat{e & 0 \\ 0 & 1}[/mm]

Weiter erhalten wir:
[mm] $\exp(B)=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{B^k}{k!}$ [/mm]

[mm] $=\frac{B^0}{0!}+\frac{B^1}{1!}$ [/mm] (beachte, dass [mm] $B^k=\pmat{0&0\\0&0}$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN_{\ge 2}$) [/mm]

[mm] $=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}+\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}=\pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}$ [/mm]

Daraus folgt:

[mm] $\exp(A)*\exp(B)=\pmat{e & e \\ 0 & 1}$, [/mm] also das Gewünschte :-)!

Viele Grüße,
Marcel
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exp: danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:38 Di 10.05.2005
Autor: LOLO

Hallo!

Danke für eure Erklärungen! Ich habs verstanden! :-)

Danke an die 3 M´s! :-)
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