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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:56 Mo 04.02.2008 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | | [mm] C=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 3 }. [/mm] Berechnen Sie exp(C). |
Hallo,
dieses sollen wir mit vorher bearbeiteten Aufgaben lösen, wo wir unter anderem eine Matrix A hatte, bei der wir [mm] A^k [/mm] und exp (A) berechnen sollte, was ganz simpel war. Dazu sollten wir noch zeigen das gilt [mm] (P^{-1}CP)^k=P^{-1}C^kP [/mm] und [mm] exp(P^{-1}CP)=P^{-1}exp(C)P. [/mm] Diese Aufgaben habe ich auch erledigt. So, nun muss ich glaube ich eine Matrix P finden sodass [mm] \underbrace{P^{-1}CP}_{=D}diagonal [/mm] ist. Als Hilfe habe ich dann noch bekommen das [mm] e^D=PDP^{-1} [/mm] und [mm] e^C=e^{PP^{-1}CPP^{-1}}=Pe^{P^{-1}CP} P^{-1} [/mm] sind. Alles schön und gut, aber irgendwie finde ich keine solche Matrix bzw. weiß ich nicht wie ich eine solche finden kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:03 Mo 04.02.2008 | | Autor: | chipbit |
Also, das mit der Diagonalen hab ich, aber ich komm immernoch nicht drauf wie ich nun exp(c) damit berechnen soll/kann.
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Hallo chipbit,
na, wenn du C schon diagonalisiert hast und auch die Matrizen P und [mm] P^{-1} [/mm] hast, ist es doch nicht mehr weit.
Sagen wir, C ist diagonalisierbar, also ähnlich zu einer Diagonalmatrix D mit den Eigenwerten [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] von C auf der Diagonalen.
Die transformierende Matrix P und [mm] P^{-1} [/mm] hast du auch.
Dann hast du richtig gesagt, dass [mm] $e^{C}=P\cdot{}e^{D}\cdot{}P^{-1}$ [/mm] ist
Wie sieht denn [mm] $e^{\text{Diagonalmatrix}}$ [/mm] aus?
Das ist doch dann (hier) die Matrix [mm] $e^D=\pmat{e^{\lambda_1}&0\\0&e^{\lambda_2}}$
[/mm]
Dann nur noch das Produkt berechnen und du hast es.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:34 Mo 04.02.2008 | | Autor: | chipbit |
Aha, na das scheint ja nich allzu schwer zu sein.
Also, nur um sicherzugehen das ich das richtig gemacht hatte mit der Diagonalmatrix: ich hatte einfach C hergenommen und das charakteristische Polynom berechnet, daraus dann die Eigenwerte (in dem Falle 1 und 3), damit konnte ich die Eigenvektoren bilden [mm] v_1= \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] v_2=\vektor{1 \\ 1}. [/mm] Aus denen habe ich dann P erstellt [mm] P=\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 } [/mm] und P habe ich dann invertiert [mm] P^{-1}=\pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 1 }. [/mm] Richtig? Damit komme ich dann mit [mm] P^{-1}CP [/mm] auf [mm] D=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 3 }.
[/mm]
Okay, wenn [mm] e^D=\pmat{e^{\lambda_1}&0\\0&e^{\lambda_2}}, [/mm] dann ist das hier [mm] e^D=\pmat{e^1&0\\0&e^3}.
[/mm]
Sooo, damit wäre dann ja [mm] e^C=\pmat{e^1&-e^1+e^3\\0&e^3}= \pmat{2,7183&17,367\\0&20,086}. [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 04.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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