explizite Darst. einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 So 07.10.2007 | | Autor: | xilef |
| Aufgabe | Ein Land mit 40 Millionen Einwohnern hat einen Bevölkerungsschwund von jährlich 0,5%. Während jedes Jahr werden aber 30 000 Zuwanderer aufgenommen.
a) Geben Sie eine rekursive Darstellung für die Entwicklung der Einwohnerzahl an.
b) Nach wie vielen Jahren ist die Einwohnerzahl unter 35 Millionen gesunken?
c) Wie wird sich die Einwohnerzahl langfristig entwickeln? Zeichnen Sie einen Graphen. |
Hallo,
ich habe ein kleines Problem bei b. a müsste ich richtig gelöst haben und zwar habe ich als rekursive Darstellung der Folge folgendes: [mm] a_{n} [/mm] = [mm] a_{n-1} \* [/mm] q + 30 000, q = 0,995
Richtig?
Jetzt wollte ich durch die explizite Darstellung ausrechnen, nach wie vielen Jahren die Einwohnerzahl unter 35 Millionen sinkt, aber meine explizite Darstellung passt irgendwie nicht ganz habe ich das Gefühl: [mm] a_{n} [/mm] = [mm] a_{1} \* q^{n-1} [/mm] + 30 000 [mm] \* [/mm] (n-1), [mm] a_{1} [/mm] = 40 000 000
Brauche ich überhaupt die explizite Darstellung, um auszurechnen nach wie vielen Jahren die Einwohnerzahl unter 35 Mio. sinkt? Kann ich das ganze auch viel einfacher ausrechnen? Ohne [mm] a_{5} [/mm] etc. auszurechnen ... also direkt.
Vielen Dank für eure Hilfe
Liebe Grüße
Xilef
PS: Aufg. c stellt kein Problem dar. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 So 07.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
die Lösung führt uns im Prinzip auf eine Differenzialgleichung. Habt ihr so etwas in der Schule überhaupt besprochen?
Falls nicht (was ich vermute), dann solltet ihr einen Ansatz für die Funktion bekommen haben ?!
Poste mal, was ihr in der Schule besprochen habt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 So 07.10.2007 | | Autor: | xilef |
Hallo,
nein wir haben dazu keinen Lösungsansatz bekommen. Diese Aufgabe steht so im Buch und ich muss sie lösen können. Differenzialgleichung sagt mir was.
Liebe Grüße
Xilef
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Du darst Differentialgleichungen nicht mit der Differentialrechnung verwechseln, bei der es um die Ermittlung einer Ableitung geht. Etwa der Form nach:
[mm] \bruch{df}{dx}
[/mm]
Differentialgleichungen können die Form
y'' - 2y' +10y = -3
haben. :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 So 07.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
es gibt da noch eine andere Möglichkeit. Ich habe das Problem - glaube ich - zu realitätsnah betrachtet und eine stetige Entwicklung nach dem angegebenen Muster angenommen.
Wenn es aber hier nur um die Folge geht, kannst du eine explizite Darstellung auf einfache Weise bekommen:
Schreibe einfach den Anfangsbestand A nach der Formel $f(n) = A * [mm] 0.995^n$ [/mm] fort. Dazu mußt du die Summe der endlichen geometrischen Reihe addieren, die sich durch den Zuwachs von 30000 ergibt, also insgesamt:
$f(n) = A * [mm] 0.995^n [/mm] + 30000 * [mm] \frac{0.995^n - 1}{0.995 - 1}$
[/mm]
A ist dabei der Bevölkerungsanfangsbestand, das waren, glaube ich 30 000 000.
War es das, was du wolltest?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 So 07.10.2007 | | Autor: | xilef |
Ja, kann ich dann die 40 000 000 war die Anfangseinwohnerzahl für A einsetzen und für f(n) 34 999 999 und dann das ganze nach n auflösen, so dass ich dann als Ergebnis die Zeit in Jahren erhalten, die es braucht, bis die Einwohnerzahl unter 35 000 000 sinkt? Ansonsten werde ich es wohl doch rekursiv machen.
Liebe Grüße
Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 So 07.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. schreib mal allgemein, also ohne Auszurechnen, die ersten 3 bis 4 [mm] a_i [/mm] hin. dann siehst du dass deine explizite formel falsch ist, weil du die zuwnderer, die ja dann auch zur Bevölkerung gehören nicht mitrechnest. dann siehst du dass du für die Zuwanderer z ne geometrische Reihe bekommst [mm] z+q*z+q^2*z+....=z*(1+q+q^2+...q^{n-1} [/mm] dazu die anfangseinwohner mit [mm] A*q^n.
[/mm]
Dann hast du die Formel von Koepper und kannst n ausrechnen.
mit der rekursiven Formel dauert das zu lang, es sei denn du nimmst ein einfaches Programm!
d) dagegen kannst du leichter, indem du nachsiehst, wann sich die Bevölkerungszahl nicht mehr ändert: also [mm] a_n=a_{n-1} [/mm] das ist der Zustand dem sich das ganze nähert, allerdings nur in sehr langer Zeit.
gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:18 So 07.10.2007 | | Autor: | xilef |
Hallo,
das kommt jetzt vielleicht argh dumm, aber ich habe das jetzt alles gemacht, wie du es geschrieben hast und das leuchtet mir auch alles verständlich ein und ich habe es verstanden, aber wie löse ich dann bei der Gleichung nach n auf? Vor allem das n in zwei verschiedenen Zahlen steckt, die durch die Summe getrennt sind breitet mir Kopfzerbrechen? Ausklammern? Ich weiß, es muss erbärmlich wirken, aber ohne Frage komme ich einfach nicht weiter.
Vielen Dank für Eure große Geduld mit mir!
Liebe Grüße
Xilef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 So 07.10.2007 | | Autor: | xilef |
Ich denke, ich bin auf die Lösung gekommen: Logarithmus ist das Zauberwort. Falls falsch, bitte korrigieren.
Liebe Grüße
Xilef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 So 07.10.2007 | | Autor: | xilef |
Wenn ich dann nach n auflöse, komme ich auf etwa 0,99 ...
Das kann also nicht stimmen. Bin mir aber auch nicht sicher, ob ich den log richtig gezogen habe, weil logarithmus ist einer meiner Schwächen.
Auf die Gefahr hin als kompletter Idiot abgestempelt zu werden: log(35 000 000) = n(log 40 000 000 * 0,995) + n(log 30000 + [mm] \bruch{0,995 - 1}{0,995 -1}
[/mm]
Dann habe ich nach n aufgelöst und dann kommt einfach nur Mist raus, der nicht stimmen kann. Was mache ich falsch?
Liebe Grüße
Xilef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 So 07.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] log(a+b)\ne [/mm] loga +logb
Du musst deine Gleichung umformen, bis da nur noch steht:
[mm] a=b*0,995^n
[/mm]
dazu multiplizierst du erst mal mit dem Nenner 1-0.995=0,005 die Gleichung.
Dann alle Zahlen ohne [mm] 0,995^n [/mm] nach links, alle mit 0,995 nach rechts. o,995^nausklammern dann hast du [mm] a=b*0,995^n
[/mm]
daraus [mm] a/b=0,995^n
[/mm]
jetzt logarithmieren!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Mo 08.10.2007 | | Autor: | xilef |
1 - 0,995 oder 0,995-1 wie bei Koepper. Was stimmt jetzt? :)
Liebe Grüße
Xilef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Xilef!
Die beiden Brüche [mm] $\bruch{0.995^n-1}{0.995-1}$ [/mm] und [mm] $\bruch{1-0.995^n}{1-0.995}$ [/mm] sind gleich.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 Mo 08.10.2007 | | Autor: | xilef |
Hallo,
Ich komme dann auf ein Endergebnis für n [mm] \approx [/mm] 32 Jahre (31,7). Stimmt das?
Vielen Dank für eure Hilfe und Geduld.
Gruss
Xilef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Mo 08.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würd zur Überprüfung auch nur dein Ergebnis in die Funktion einsetzen und nachsehen ob etwa [mm] 35*10^6 [/mm] rauskommt. das kannst du auch selbst
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:33 Mo 08.10.2007 | | Autor: | xilef |
Ja, da hast Du Recht, dass ich das auch selber überprüfen kann. Ich Dummerchen, ich habe daran überhaupt nicht mehr gedacht. *in boden schäm*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 So 07.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Vielleicht soll man das bei b) auch mit der rekursiven Vorschrift machen... also immer wieder einsetzen etc. Ist zwar vielleicht etwas langwierig, aber naja, es geht halt. Für c) brauchst du ja auch weiter keine explizite Bildungsvorschrift.
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