exponentielle Kurvenschar < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Mi 03.02.2010 | | Autor: | bastard |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionsschar mit [mm] f_{t} [/mm] der in [mm] \IR [/mm] definierten Fkt.
[mm] f_{t}(x)= (2x+t)*-e^{-\bruch{x}{t}} [/mm] ; t [mm] \in \IR [/mm] \ {0} x [mm] \in D_{f}
[/mm]
Der Graph der Funktion [mm] f_{t} [/mm] sei [mm] K_{t}
[/mm]
Der Graph [mm] K_{t} [/mm] und die x-Achse schließen ein Flächenstück ein, das sich im 1. Quadranten ins Unendliche erstreckt.
Zeigne Sie, dass diesem Flächenstück für alle t ein endlicher Inhalt [mm] A_{t} [/mm] zugeordnet werden kann. |
Ich bin nicht sicher ob ich das richtig abgeleitet hab:
[mm] f_{t} [/mm] (x) = [mm] \underbrace{(2x+t) }_{u} \underbrace{*e^{-\bruch{x}{t}}) }_{v'}
[/mm]
u'= 2 v= [mm] -e^{-\bruch{x}{t}}
[/mm]
A = [mm] \integral_{b}^{-\bruch{x}{t}} (2x+t)*-e^{-\bruch{x}{t}}dx
[/mm]
[mm] A\limes_{b\rightarrow\infty} [/mm] = [ [mm] -2xtee^{-\bruch{x}{t}}+t [/mm] + [mm] 2t^{2}e^{-\bruch{x}{t}}]
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Mi 03.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast ein paar Sachen dabei, die nicht korrekt sind.
1: Die Nullstelle von [mm] f_{t}(x) [/mm] ist [mm] x_{0}=-\bruch{t}{2}, [/mm] das ist auch deine Integrationsgrenze
2. Du hast die Integrationsgrenzen vertauscht, die Fläche A berechnet sich wie folgt:
[mm] A=\limes_{b\to\infty}\integral_{-\bruch{t}{2}}^{b}f_{t}(x)dx
[/mm]
Da [mm] b\to\red{+}\infty [/mm] ist [mm] b>-\bruch{t}{2}
[/mm]
3. Beim Integrieren hast du einiges vergessen
[mm] \integral(\underbrace{(2x-t)}_{u}\underbrace{e^{-\bruch{x}{t}}}_{v'}dx
[/mm]
[mm] =\left[\underbrace{(2x-t)}_{u}\underbrace{\red{\bruch{1}{-\bruch{1}{t}}}(e^{-\bruch{x}{t}})}_{v}\right]_{-\bruch{t}{2}}^{b}-\integral_{-\bruch{t}{2}}^{b}\underbrace{2}_{u'}\underbrace{\red{\bruch{1}{-\bruch{1}{t}}}(e^{-\bruch{x}{t}})}_{v}dx
[/mm]
[mm] =\left[(2x-t)(-t)e^{-\bruch{x}{t}}\right]_{-\bruch{t}{2}}^{b}-(-2t)\integral_{-\bruch{t}{2}}^{b}e^{-\bruch{x}{t}}dx
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
So, jetzt mach dich nochmal mit den Korrekturen an die Aufgabe.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 07.02.2010 | | Autor: | bastard |
Ist das so richtig?:
1. Grenze: [mm] {-\bruch{t}{2}} [/mm] 2.Grenze [mm] ={+\infty}
[/mm]
f(x)= [mm] (2x+t)*e^{-\bruch{x}{t}}
[/mm]
[mm] \limes_{b\rightarrow+\infty}= [/mm] u * v - [mm] \integral_{-\bruch{t}{2}}^{b}{ (u' * v ) dx }
[/mm]
[mm] \limes_{b\rightarrow+\infty}= (2x+t)*(-te^{-\bruch{x}{t}})- \integral_{-\bruch{t}{2}}^{b}{2*(-te^{-\bruch{x}{t}}) dx}
[/mm]
[mm] \limes_{b\rightarrow+\infty}= (2x+t)*(-te^{-\bruch{x}{t}})- \integral_{-\bruch{t}{2}}^{b}{-2te^{-\bruch{x}{t}}) dx}
[/mm]
[mm] \limes_{b\rightarrow+\infty}= (2x+t)*(-te^{-\bruch{x}{t}})- [/mm] [{-2t [mm] *-te^{-\bruch{x}{t}}}]
[/mm]
[mm] \limes_{b\rightarrow+\infty}= -te^{-\bruch{x}{t}} [/mm] (-2x+t+2t)
[mm] \limes_{b\rightarrow+\infty}= -te^{-\bruch{x}{t}} [/mm] (-2x+3t)
|
|
|
| |
|
Hallo!
Achtung: $ [mm] \int_a^buv'=\red{[}uv\red{]_a^b} [/mm] - [mm] \int_a^bu'v$ [/mm] Das vergißt man all zu leicht, wenn man im Merksatz die grenzen weg läßt.
das heißt, nach der Integration hast du
$ [mm] \limes_{b\rightarrow+\infty} A_t= \limes_{b\rightarrow+\infty} \red{[}(2x+t)\cdot{}(-te^{-\bruch{x}{t}})\red{]_{-t/2}^b}- [/mm] [{-2t [mm] \cdot{}-te^{-\bruch{x}{t}}}]_{-t/2}^b [/mm] $
Du hast da nämlich anschließend noch mehrfach ein x im Term, das sollte nach der Integration eigentlich weg sein.
Setze die Grenzen mal ein und überlege dann, was passiert, wenn [mm] b\rightarrow+\infty [/mm] geht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 So 07.02.2010 | | Autor: | bastard |
Ich verstehe jetzt nicht so richtig was du meinst.
> Achtung: [mm]\int_a^buv'=\red{[}uv\red{]_a^b} - \int_a^bu'v[/mm]
> Das vergißt man all zu leicht, wenn man im Merksatz die
> grenzen weg läßt.
>
> das heißt, nach der Integration hast du
>
> [mm]\limes_{b\rightarrow+\infty} A_t= \limes_{b\rightarrow+\infty} \red{[}(2x+t)\cdot{}(-te^{-\bruch{x}{t}})\red{]_{-t/2}^b}- [{-2t \cdot{}-te^{-\bruch{x}{t}}}]_{-t/2}^b[/mm]
>
>
> Du hast da nämlich anschließend noch mehrfach ein x im
> Term, das sollte nach der Integration eigentlich weg sein.
Ich integriere doch erst, dann setze ich die Grenzen ein. Oder nicht?
|
|
|
| |
|
Hallo!
Natürlich mußt du erst den rechten Teil mit dem Integralzeichen integrieren, bevor du Grenzen einsetzt. ABER: auch der Ausdruck uv wird wie eine Stammfunktion behandelt, auch in ihn werden die Grenzen eingesetzt. Da steht [uv], nicht nur uv.
Ein einfaches Beispiel:
[mm] $\int_0^2 x^2\,dx$
[/mm]
ergibt sicherlich [mm] \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^2=\frac{8}{3}
[/mm]
Rechnen wir das mal umständlich mit der part. Integration:
$u=x_$
$v'=x_$
$u'=1_$
[mm] v=\frac{1}{2}x^2
[/mm]
[mm] $\int_0^2 x^2\,dx=x*\frac{1}{2}x^2-\underbrace{\int\frac{1}{2}x^2}_{=\left[\frac{1}{2*3}x^3\right]}\,dx$
[/mm]
Nach deiner Methode setzt du nun die Grenzen ein, und bist fertig: [mm] \frac{1}{2}x^3-\frac{8}{6}
[/mm]
Das stimmt nicht mit dem ergebnis oben überein, außerdem steckt da noch das x drin, welches nach einer Integration über x aber weg sein sollte. Richtig ist:
[mm] $\int_0^2 x^2\,dx=\green{\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^2}-\blue{\underbrace{\int\frac{1}{2}x^2}_{=\left[\frac{1}{2*3}x^3\right]}\,dx}=\green{\frac{8}{2}}-\blue{\frac{8}{6}}=\frac{8}{3}$
[/mm]
Weiterhin solltest du zunächst als Obergrenze wirklich noch b einsetzen, um anschließend zu argumentieren, warum das für [mm] b\mapsto\infty [/mm] alles konstant wird.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 So 07.02.2010 | | Autor: | bastard |
Aber ich hab doch genau das getan, oder nicht?
Ich habe den hinteren Therm integriert. den vorderen zusammengefasst. Eingesetzt hatte ich noch nicht weil ich erst wissen wollte ob das richtig ist.
Deinem Beispiel kann ich nicht wirklich folgen, kann das sein das du bei dem grünen Therm ein x vergessen hast?
> [mm]\int_0^2 x^2\,dx=\green{\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^2}-\blue{\underbrace{\int\frac{1}{2}x^2}_{=\left[\frac{1}{2*3}x^3\right]}\,dx}=\green{\frac{8}{2}}-\blue{\frac{8}{6}}=\frac{8}{3}[/mm]
>
Müsste es nicht [mm] \bruch{1}{2}x³ [/mm] heißen?
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Richtig, ich habe da ein x verschlampt.
Und bei genauerem Hinschaun muß ich auch gestehen, daß ich etwas voreilig war.
$ \limes_{b\rightarrow+\infty}= (2x+t)\cdot{}(-te^{-\bruch{x}{t}})- [-2t \cdot{}-te^{-\bruch{x}{t}}}] $
Hier deutest du an, daß du korrekterweise das rechte Integral gelöst hast, und nun die Grenzen einsetzen willst.
$ \limes_{b\rightarrow+\infty}= -te^{-\bruch{x}{t}} (-2x+t+2t)$
$ \limes_{b\rightarrow+\infty}= -te^{-\bruch{x}{t}} (-2x+3t) $
und hier faßt du das alles zusammen. Aber vorsicht:
$(2x+t)\cdot{}(-te^{-\bruch{x}{t}})- (-2t \cdot{}-te^{-\bruch{x}{t}})$
-te^{-\bruch{x}{t}}*\left( 2x+t+2t \right)
Von der Schreibweise her solltest du aber immer die eckigen Klammern mitführen, denn die stellen eine Rechenoperation dar. Bei den Grenzen kann man sich streiten, wenn die einmal angegeben sind, geht man davon aus, daß die immer gleich sind. Jedenfalls ist die Rechnung so, wie du sie da geschrieben hast, nicht richtig, weshalb ich da eben auch dachte, du hast da was übersehen.
Weiterhin ist die Schreibweise \limes_{b\rightarrow+\infty}=... auch mathematisch nicht richtig.
Wie auch immer, wenn du jetzt Grenzen einsetzt und die Grenzwertbetrachtung durchführst, bist du ja fertig.
|
|
|
|
