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| Aufgabe | Bestimmen Sie Lage und Art der lokalen Extrema der folgenden Funktionen:
a: f: [mm] R^2 \to [/mm] R, [mm] f(x):=x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 -2x_1 -4x_2 [/mm] +5 |
Meine Fragen zu dieser Aufgabe:
Was genau bedeutet es, dass vom [mm] R^2 [/mm] in R abgebildet wird? Was hat das für Konsquenzen für die Aufgabe?
Kann ich die Extrema mit der Jakobi und Hessischen Matrix ermitteln? Weil das wären ja bei einer Veränderlichen die erste und zweite Ableitung. Wie müssen die Matrizen dann sein?
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Hiho,
> Kann ich die Extrema mit der Jakobi und Hessischen Matrix
> ermitteln? Weil das wären ja bei einer Veränderlichen die
> erste und zweite Ableitung.
Genau das 
Letztlich ist das einfach eine Funktion mit 2 Veränderlichen, also:
[mm]f(x) = f(x_1,x_2) = .... [/mm]
MfG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 23.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie Lage und Art der lokalen Extrema der
> folgenden Funktionen:
>
> a: f: [mm]R^2 \to[/mm] R, [mm]f(x):=x_1^2[/mm] + [mm]x_2^2 -2x_1 -4x_2[/mm] +5
> Meine Fragen zu dieser Aufgabe:
>
> Was genau bedeutet es, dass vom [mm]R^2[/mm] in R abgebildet wird?
> Was hat das für Konsquenzen für die Aufgabe?
>
> Kann ich die Extrema mit der Jakobi und Hessischen Matrix
> ermitteln?
Wenn du ungeschickt vorgehst, musst du sicher irgendwie so etwas machen.
Ansonsten gilt [mm] x_1^2 [/mm] + [mm]x_2^2 -2x_1 -4x_2[/mm] [mm] +5=(x_1-1)^2+(x_2-2)^2, [/mm] und da Quadrate nicht negativ sein können, wird dieser Term in genau einem Fall minimal (nämlich Null).
Gruß Abakus
> Weil das wären ja bei einer Veränderlichen die
> erste und zweite Ableitung. Wie müssen die Matrizen dann
> sein?
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Jakobi Matrix
[mm] Df(x_1,x_2)= (2x_1 [/mm] - 2 [mm] 2x_2 [/mm] - 4)
Wäre das so richtig geschrieben? Oder kommt vorne eine Delta hin?
Würde man die nun 0 setzen:
Df(0,0) = ( -2 -4)
Was würde mir das sagen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Sa 23.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum rechnest du Df(0,0) aus? um zu sehen, dass da kein Extremwert liegt?
Wie findet man denn moegliche Extrema, wenn man den Tip nicht benutzen will (warum nicht?)
gruss leduart
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Hatte den Tipp erst zu spät gesehen und dass mein Beitrag Quatsch ist leider auch. Hätte ja die beiden Ableitungen einfach nur 0 setzen brauchen und wäre so auch auf 2 und 1 gekommen. Und da die Hessische Matrix (2 2) gewesen wäre, wäre das ja auch positiv definit und damit ein Minimum.
Nun hab ich noch zwei Fragen:
Wie schreibt man sowas auf? Ist das dann einfach ein Minimum bei 1 für [mm] x_1 [/mm] und ein Minimum für [mm] x_2 [/mm] bei 2?
Und dann hatte ich noch folgende Aufgabe:
[mm] g:(-\pi, \pi)² \to [/mm] R, g(x):= sin [mm] x_1 [/mm] sin [mm] x_2
[/mm]
Was ist [mm] (-\pi, \pi)² [/mm] für ein Raum? Was muss man da beachten?
Eigentlich müsste doch hier ein Maximum bei [mm] \pi/2 [/mm] sein, wenn man sich die Ableitungen anschaut.
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> Und da die Hessische Matrix (2 2) gewesen wäre,
> wäre das ja auch positiv definit und damit ein Minimum.
Bis auf die Tatsache, dass die Hesse-Matrix ne 2x2 - Matrix ist und auf der Diagonalen Zweien stehen und sonst Nullen, stimmts.
> Wie schreibt man sowas auf? Ist das dann einfach ein
> Minimum bei 1 für [mm]x_1[/mm] und ein Minimum für [mm]x_2[/mm] bei 2?
Nein, das ist ein Minimum bei x=(1,2), es gibt also genau ein Minimum.
> Und dann hatte ich noch folgende Aufgabe:
>
> [mm]g:(-\pi, \pi)² \to[/mm] R, g(x):= sin [mm]x_1[/mm] sin [mm]x_2[/mm]
>
> Was ist [mm](-\pi, \pi)²[/mm] für ein Raum? Was muss man da
> beachten?
Das ist eine Einschränkung auf diesen Bereich, es ist halt nicht [mm] \IR^2, [/mm] sondern nur die Teilintervalle.
> Eigentlich müsste doch hier ein Maximum bei [mm]\pi/2[/mm] sein,
> wenn man sich die Ableitungen anschaut.
Schau es dir nochmal genau an und schreib es sauber auf!
Dann fällt dir vielleicht auf, dass es nicht ganz so einfach ist
Hier wird auch klar, wieso der Definitionsbereich eingeschränkt wird, sonst gäbe es ja unendlich viele Lösungen (warum?).
MFG,
Gono.
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Also gäbe es zwei Extrempunkte, einmal bei [mm] \pi [/mm] /2 und - [mm] \pi [/mm] /2. Das wär doch schon alles, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Do 28.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
so wie du es schreibst ist es sicher falsch. was ist den [mm] \pi/2?
[/mm]
du musst doch einen Punkt (a,b) angeben, indem es ein min. gibt? natuerlich gibt es auch lange Taeler.
Du kannst dir deine fkt f(x1,x2) als Gebirge ueber der x1,x2 ebene vorstellen, f(x1,x2) ist die Hoehe des Gebirges ueber jedem Punkt der Ebene.
Gruss leduart
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Zwei Maximas.
Einmal bei [mm] g(\bruch{-\pi}{2}, \bruch{-\pi}{2}) [/mm] und [mm] g(\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}).
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Do 28.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
was soll das g sein?
Glaubst du wirklich, dass in einem Gebiet 2 Berge ohne Tal sein koennen?
ich bin nett und spendier dir ein Bild in den gegebenen Grenzen
[Dateianhang nicht öffentlich]
gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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