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extremalprobleme: hilfe bei extremalaufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Mi 13.04.2005
Autor: goldentristesse

ich habe folgendes problem .. ich muss zu morgen matheaufgaben abliefern, bei denen weder ich, noch die leute aus dem mathe lk, die ich gefragt habe, weiter wissen

folgendes:
betrachtet wird das achsenparallele rechteck, dessen eckpunkt P(z/f(z)) für 0>z>1 auf dem Graphen der Funktion f(x)= 2x * e^-x liegt.
wie muss z gewählt werden, damit das rechteck maximal wird?

mein lösungsansatz:

Hauptbedingung: A=y * (x-z)     -> x=1 ist bekannt
Nebenbedinung: y= 2x * e^-x

2. werte einsetzen und 1. ableitung bilden

A= 2e^-1 * (1-z)
A' = -2e^-1 * (1-z) + 2e^-1 * (-1)
A' = -2e^-1 * (2-z)

das ganze dann null setzen

0= -2e^-1 * (2-z)
<=> 0=2-z  /+z
z=2

und da ist das problem .. der z wert muss zwischen o und 1 liegen, dass ist vorgegeben und auch in der skizze im buch so zu erkennen .. die obere grenze des rechtecks ist ja x=1 !!!

mir wurde gesagt ich solle (wenn ich das problem gelöst habe) wie folgt weiterrechnen: in 2. ableitung einsetzen und überprüfen ob ein hochpunkt rauskommt, dann z-wert in ausgangsgleichung um f(z) zu erhalten ...

klingt ja alles ganz logisch . aber wir rechnen seit zwei tagen dran rum und finden den fehler nicht .. das problem: ohne die aufgabe kann ich die restlichen 2 auch nciht machen .. und ich krieg ne note drauf ..

hoffe ich konnte es verständlich erklären und bitte auch dringendst um hilfe!

mit freundlichen grüßen, goldentristesse

        
Bezug
extremalprobleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 Mi 13.04.2005
Autor: Fugre


> ich habe folgendes problem .. ich muss zu morgen
> matheaufgaben abliefern, bei denen weder ich, noch die
> leute aus dem mathe lk, die ich gefragt habe, weiter wissen
>
> folgendes:
> betrachtet wird das achsenparallele rechteck, dessen
> eckpunkt P(z/f(z)) für 0>z>1 auf dem Graphen der Funktion
> f(x)= 2x * e^-x liegt.
> wie muss z gewählt werden, damit das rechteck maximal wird?
>
> mein lösungsansatz:
>
> Hauptbedingung: A=y * (x-z)     -> x=1 ist bekannt

woher ist $x=1$ bekannt? Wo liegt die linke untere Ecke?

> Nebenbedinung: y= 2x * e^-x
>  
> 2. werte einsetzen und 1. ableitung bilden
>
> A= 2e^-1 * (1-z)
>  A' = -2e^-1 * (1-z) + 2e^-1 * (-1)
>  A' = -2e^-1 * (2-z)
>  
> das ganze dann null setzen
>
> 0= -2e^-1 * (2-z)
>  <=> 0=2-z  /+z

>  z=2
>
> und da ist das problem .. der z wert muss zwischen o und 1
> liegen, dass ist vorgegeben und auch in der skizze im buch
> so zu erkennen .. die obere grenze des rechtecks ist ja x=1
> !!!
>
> mir wurde gesagt ich solle (wenn ich das problem gelöst
> habe) wie folgt weiterrechnen: in 2. ableitung einsetzen
> und überprüfen ob ein hochpunkt rauskommt, dann z-wert in
> ausgangsgleichung um f(z) zu erhalten ...
>  
> klingt ja alles ganz logisch . aber wir rechnen seit zwei
> tagen dran rum und finden den fehler nicht .. das problem:
> ohne die aufgabe kann ich die restlichen 2 auch nciht
> machen .. und ich krieg ne note drauf ..
>  
> hoffe ich konnte es verständlich erklären und bitte auch
> dringendst um hilfe!
>
> mit freundlichen grüßen, goldentristesse  

Hallo Laura,

also zunächst eine Frage an dich, ist der Ursprung auch ein Eckpunkt des Rechtcks?
Ich nehme das mal an, falls die Vermutung nicht zutrifft ändert sich aber auch nicht
viel. Also deine Zielfunktion ist $A=y*(x-z)$, aber wieso $x-z$? der Eckpunkt hat doch
die Koordinaten $(z/f(z))$ und deshalb wäre meine Zielfunktion $A=z*f(z)$.
$z$ ist der horizontale Abstand zum Ursprung und $f(z)$ der vertikale.
Außerdem ist [mm] $f(z)=2z*e^{-z}$, [/mm] somit können wir schreiben:
[mm] $A=z*2z*e^{-z}=2z^2*e^{-z}$ [/mm]

Hier mal ein Plot im Intervall $0;3$
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ist merkwürdig, denn im Normalfall, wird das Maximum bei Schulaufgaben selten in den Randbereich
gesetzt, aber hier ist der Flächeninhalt maximal, wenn $z=2$ ist. Deswegen gib bitte mal die genaue
Aufgabenstellung mit Zeichnung an, damit wir dir besser helfen können.

Das eigentliche Vorgehen ist folgendes:
1. Ableiten
2. 1. Ableitung nullsetzen
3. Nullstellen der 1. Ableitung in die zweite einsetzen. Ist das Ergebnis größer 0, vergiss diese Nullstelle
4. War Ergebnis bei 1. Ableitung <0, so setze es in die Funktion ein
5. Ränder des Definitionsbereich (hier: 0 und 1) in die Funktion einsetzen
6. Ergebnisse von 4. und 5. vergleichen, größere Auswählen und ein Lächeln aufsetzen :-)

Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.

Liebe Grüße
Fugre


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
extremalprobleme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:42 Mi 13.04.2005
Autor: goldentristesse

vielen dank schon einmal für deine hilfe!

aber: die rechte äußere begrenzung des rechtecks ist x=1, das ist im lehrbuch so vorgegeben
somit muss (auch in der aufgabe definiert) 0>z>1 gelten

ich würd ja gern ein bild mit anhängen, aber unser scanner ist kaputt

ich kann aber werte angeben:

extremwert: HP (1 / 0,74)
wendepunkt: rechts-linkswendepunkt (2/ 0,54)

verhalten:
limes für x gegen  [mm] \infty [/mm] (2x * e^-x) = 0
limes für x gegen -  [mm] \infty [/mm] (2x * e^-x) = -  [mm] \infty [/mm]

z kann nicht größer 1 sein!!!

naja .. die formel ergibt sich daraus, dass von x=1 die länge des rechtecks abgezogen werden muss .. also zwischen x=0 und z liegt ja noch ein unbekanntes stück ... so wurde mir das erklärt, deshalb A= f(z) * (x-z)

Bezug
                        
Bezug
extremalprobleme: Fehler in Zielfunktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:00 Mi 13.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Laura!


Hier darf wohl jeder mal bei dieser Frage ;-) ...

Hoffentlich verwirren wir Dich nicht allzu sehr!


Ich behaupte, nunmehr die Aufgabenstellung verstanden zu haben!


Fangen wir mal klein an ...

Der Flächeninhalt eines Rechteckes lautet: [mm] $A_{Rechteck} [/mm] \ = \ a * b$

Dabei entspricht die horizontale Seite $a$ der Strecke zwischen unserem gesuchten Wert $z$ und der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$:

$a \ = \ 1 - z$

Die vertikale Seite $b$ entspricht dann exakt dem Funktionswert an der Stelle $z$ :   $b \ = \ f(z)$

Soweit warst Du ja auch bereits ...

Dein Fehler war, Du hast Dir Deine Zielfunktion unfreiwillig vereinfacht, indem Du einen Faktor $z$ unterschlagen hast!

Es muß ja nun lauten:

$A(z) \ = \ (1-z) * f(z) \ = \ (1-z) * [mm] 2\red{z} [/mm] * [mm] e^{-z}$ [/mm]

Mit dieser Funktion mußt Du nun Deine Extremwertberechnung durchführen (1. Ableitung bestimmen, Nullstelle ermitteln etc.).


Dabei erhältst Du zwei mögliche Extremwertstellen, von denen eine wegfällt, da sie größer als 1 ist (außerdem befindet sich dort auch "nur" ein Minimum).


Ich habe erhalten (bitte nachrechnen): [mm] $z_E [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3 - \wurzel{5}}{2} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0,38$


Ich hoffe, nun sind wirklich alle Klarheiten beseitigt ...

Grüße
Loddar


Bezug
                                
Bezug
extremalprobleme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:10 Mi 13.04.2005
Autor: barb


> Es muß ja nun lauten:
>  
> [mm]A(z) \ = \ (1-z) * f(z) \ = \ (1-z) * 2\red{z} * e^{-z}[/mm]
>  
> Mit dieser Funktion mußt Du nun Deine Extremwertberechnung
> durchführen (1. Ableitung bestimmen, Nullstelle ermitteln
> etc.).

Sehe ich auch so.
Barb

Bezug
                                
Bezug
extremalprobleme: nicht mehr durchseh
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:30 Mi 13.04.2005
Autor: goldentristesse

jetzt haltet ihr mich bestimmt für vollkommen dämlich ...

ich hab deinen lösungsansatz verstanden und bin dir sehr dankbar für die genaue erklärung!

aber ich krieg alles mögliche raus, nur nicht das was ich brauche ..

A(z) = (1-z) * f(z)
A(z) = (1-z) * 2z *e^-z
A(z) = e^-z *(2z [mm] -2z^2) [/mm]

A'(z) = -e^-z (2z - [mm] 2z^2) [/mm] + e^-z (2-4z)
A'(z) = e^-z [mm] (-2z^2 [/mm] - 2z - 2)

0= e^-z [mm] (-2z^2 [/mm] - 2z -2)
<=> 0= [mm] -2z^2 [/mm] -2z -2     / :2
0= [mm] -z^2 [/mm] -z -1

pq-formel:

0,5 [mm] \pm \wurzel{0,25 -1} [/mm]
0,5 [mm] \pm [/mm] 1,12

z1= 1,62
z2= -0,62

... da der wert ja nicht zwischen 0 und 1 liegt muss es falsch sein und ich kann mir hier die überprüfung mit der 2. ableitung sparen (glaube ich)

wo liegt denn nun schon wieder der fehler? es ist zu haareraufen *arg*

Bezug
                                        
Bezug
extremalprobleme: ich dir augen aufmach
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:43 Mi 13.04.2005
Autor: Loddar

N'Abend Laura!


> jetzt haltet ihr mich bestimmt für vollkommen dämlich ...

Na-na-na ...



> ich hab deinen lösungsansatz verstanden und bin dir sehr
> dankbar für die genaue erklärung!
>
> aber ich krieg alles mögliche raus, nur nicht das was ich
> brauche ..
>
> A(z) = (1-z) * f(z)
> A(z) = (1-z) * 2z *e^-z
> A(z) = e^-z *(2z [mm]-2z^2)[/mm]

[daumenhoch]
(Bitte mach' dich doch mal mit unserem Formel-Editor vertraut. Das ist nicht sonderlich schwer, aber man erkennt viel mehr ...)



> A'(z) = -e^-z (2z - [mm]2z^2)[/mm] + e^-z (2-4z)

[daumenhoch]


> A'(z) = e^-z [mm](-2z^2[/mm] - 2z - 2)

[notok] Hier machst Du einen Vorzeichenfehler!!

$A'(z) \ = \ [mm] \red{-} e^{-z} [/mm] * (2z - [mm] 2z^2) [/mm] + [mm] e^{-z} [/mm] * (2-4z)$  (siehe oben, Dein Ansatz!)


Nun [mm] $e^{-z}$ [/mm] ausklammern ...

$A'(z) \ = \ [mm] e^{-z} [/mm] * [mm] \left[\red{-}(2z - 2z^2) + (2-4z)\right]$ [/mm]

$A'(z) \ = \ [mm] e^{-z} [/mm] * [mm] \left(\red{-}2z \red{+} 2z^2 + 2 - 4z\right)$ [/mm]

$A'(z) \ = \ [mm] e^{-z} [/mm] * [mm] \left(2z^2 - 6z + 2\right)$ [/mm]

$A'(z) \ = \ [mm] 2*e^{-z} [/mm] * [mm] \left(z^2 - 3z + 1\right)$ [/mm]


Nun weiter mit der MBp/q-Formel ...
Und jetzt bist Du wieder dran mit rechnen!


> es ist zum haareraufen *arg*

Also bitte wieder schön ordnen, kämmen und bürsten ... ;-)


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
extremalprobleme: habs aber will sicher gehen ..
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:59 Mi 13.04.2005
Autor: goldentristesse

juhuuuu ihc habs ...

z= 0.38

und hab nen hochpunkt raus .. *im kreis hüpf*

aber .. nicht, dass ich jetzt auf die letzten zentimeter noch einen fehler begehe .. um f(z) rauszubekommen muss ich 0.38 in die ausgangsgleichung f(x) = 2x * e^-x einsetzen, oder in die gleichung A(z) = (1-z) * f(z) ?? ich tendiere zur zweiten gleichung ...  *g*

und ich verspreche mich bei der nächsten frage mit den schreibmöglichkeiten für funktionen auseinanderzusetzen! ehrenwort

*strahlend den rest ordentlich aufschreib und die haare wieder glatt kämm*

laura

Bezug
                                                        
Bezug
extremalprobleme: Flächenfunktion für A_max
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:13 Do 14.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Laura ...

> juhuuuu ich habs ...

Ruhig bleiben ... ;-)



> z= 0.38
>
> und hab nen hochpunkt raus .. *im kreis hüpf*

Du meinst [breakdance] ??  Oder [huepf] ??



>  
> aber .. nicht, dass ich jetzt auf die letzten zentimeter
> noch einen fehler begehe .. um f(z) rauszubekommen muss ich
> 0.38 in die ausgangsgleichung f(x) = 2x * e^-x einsetzen,
> oder in die gleichung A(z) = (1-z) * f(z) ?? ich tendiere
> zur zweiten gleichung ...  *g*

Da wir ja einen maximalen Flächeninhalt berechnen wollten, müssen wir diesen Wert $z \ = \ 0,38$ auch in die Flächenfunktion, unsere Zielfunktion [mm] $\mbox{A(z)}$ [/mm] einsetzen, um [mm] $A_{max.} [/mm] \ = \ [mm] A(z_E) [/mm] \ = \ A(0,38)$ zu erhalten.


> und ich verspreche mich bei der nächsten frage mit den
> schreibmöglichkeiten für funktionen auseinanderzusetzen!
> ehrenwort

Fein ...


> *strahlend den rest ordentlich aufschreib und die haare
> wieder glatt kämm*

[daumenhoch]

Nun aber [gutenacht] ...
Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
extremalprobleme: dankeschön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:16 Do 14.04.2005
Autor: goldentristesse


im kreis hüpf -> eine mischung aus beiden ;)

super, jetzt hab ichs komplett fertig .. ein rieeeeesen dankeschön an dich!

wünsche ebenfalls eine gute nacht, die nachtruhe haben wir uns ja jetzt auch verdient *zwinker*

Bezug
        
Bezug
extremalprobleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:39 Mi 13.04.2005
Autor: barb

(Endlich drin! Die Registrierung dauerte etwas)

> betrachtet wird das achsenparallele rechteck, dessen
> eckpunkt P(z/f(z)) für 0>z>1 auf dem Graphen der Funktion
> f(x)= 2x * e^-x liegt.
> wie muss z gewählt werden, damit das rechteck maximal wird?
>
> mein lösungsansatz:
>
> Hauptbedingung: A=y * (x-z)     -> x=1 ist bekannt
> Nebenbedinung: y= 2x * e^-x

Achtung: Da, wie du weiter unten schreibst, die rechte Grenze bei x=1 liegt, ist x hier bei dir eine Konstante. Die Variable ist z. Daher die Nebenbedingung für z aufstellen. Nach meinen Berechnungen kommt dann  z= 1/2 (?)

Barb


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Bezug
extremalprobleme: nebenbedingung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:44 Mi 13.04.2005
Autor: goldentristesse

auch dir ein dankeschön für deine hilfe!!!

aber ..was genau meinst du jetzt mit nebenbedingun für z formulieren? z will ich doch rauskriegen ... *aufm schlauch steh*

mfg, goldentristesse

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Bezug
extremalprobleme: genauere Ausführung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:51 Mi 13.04.2005
Autor: barb

Hauptbedingung: A=y*(1-z)
Nebenbedingung: y= f(z)
Die Breite des Rechtecks hängt doch von dem Funktionswert an der Stelle z ab. z ist gesucht, also die Variable.

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Bezug
extremalprobleme: frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:01 Mi 13.04.2005
Autor: hobbymathematiker

Hallo laura
Wo soll denn das Rechteck beginnen??

Steht da etwas in der Aufgabe?

Gruss
Eberhard

Bezug
                                
Bezug
extremalprobleme: Skizze nach meinem Verständnis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:07 Mi 13.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Eberhard!


So habe ich jetzt die Aufgabenstellung verstanden ...

[Dateianhang nicht öffentlich]



Gruß
Loddar


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                        
Bezug
extremalprobleme: richtig erkannt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:15 Mi 13.04.2005
Autor: goldentristesse

genauso sieht die skizze im lehrbuch aus .. die rechte grenze ist wie gesagt 1! also die skizze stimmt



Bezug
                                                
Bezug
extremalprobleme: Tja ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:18 Mi 13.04.2005
Autor: Loddar

.


... so  von Berlina zu Berlina, da jeht ditte doch, mit die Vaständijung ;-) !!


Jrüße inne Hauptstadt
Loddar


Bezug
                                                        
Bezug
extremalprobleme: alle achtung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:23 Mi 13.04.2005
Autor: hobbymathematiker

Hallo Loddar

Zu deinen nicht geringen mathematischen Fähigkeiten

kommen jetzt auch noch hellseherische hinzu!!!!!  :-)

Gruss
Eberhard



Bezug
        
Bezug
extremalprobleme: antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Mi 13.04.2005
Autor: hobbymathematiker

Hallo Laura

Ich komme zum selben Ergebnis wie Fugre x = 2

ich habe dir mal die Funktion, die funktion der hauptbedingung und deren
Ableitung gezeichnet.

[Dateianhang nicht öffentlich]


Gruss
Eberhard

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
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