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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Sa 29.12.2007 | | Autor: | noobo2 |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Kugel mit dem Durchmesser 1, der ein Kreiszylinder einbeschrieben ist. Wie müssen Höhe h bzw. radius r gewählt werden, damit das Zylindervolumen maximal ist?
sie www. z-f-m.de mathematikwettbewerb Jahrgangsstufe 11 Aufgabe Nr. 6b) |
Hallo ich hab zu der Aufgabe den Ansatz nur ein Problem und zwar das mein Endergebniss irgendwie net stimmen kann also ich habe sowohl HAuptbedingung als auch Nebenbedingung formuliert.
HB: [mm] r²*\pi*h= [/mm] max
NB: (2r)²+h²=1
dann hab ich die Nebenbedingung nach h umgestellt und ind die HB eingesetzt (Pi kann man doch als KOnstante rauslassen oder? ):
[mm] max=r²*\wurzel{1-4r²}...ist [/mm] das den so weit richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Sa 29.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist eine Kugel mit dem Durchmesser 1, der ein
> Kreiszylinder einbeschrieben ist. Wie müssen Höhe h bzw.
> radius r gewählt werden, damit das Zylindervolumen maximal
> ist?
> sie www. z-f-m.de mathematikwettbewerb Jahrgangsstufe 11
> Aufgabe Nr. 6b)
> Hallo ich hab zu der Aufgabe den Ansatz nur ein Problem
> und zwar das mein Endergebniss irgendwie net stimmen kann
> also ich habe sowohl HAuptbedingung als auch Nebenbedingung
> formuliert.
> HB: [mm]r²*\pi*h=[/mm] max
> NB: (2r)²+h²=1
Soweit Okay.
>
> dann hab ich die Nebenbedingung nach h umgestellt und ind
> die HB eingesetzt
Auch okay
> (Pi kann man doch als KOnstante
> rauslassen oder? ):
Nein, die gehört erstmal zur Zielfunktion
>
> [mm]max=r²*\wurzel{1-4r²}...ist[/mm] das den so weit richtig?
Soweit ja, ausser das fehlene [mm] \pi.
[/mm]
Also [mm] V(r)=\pi*r²*\wurzel{1-4r²}=\wurzel{\pi^{2}*r^{4}*(1-4r²)}
[/mm]
Wenn du den Wurzelterm vermeiden willst, löse die NB doch nach r² auf, und ersetze das dann.
Also: [mm] r²=\bruch{1-h²}{4}
[/mm]
Und somit [mm] V(h)=\pi*\bruch{1-h²}{4}*h=\pi*\bruch{h-h³}{4}
[/mm]
Das ganze ist sicherlich einfacher zu "handhaben".
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 29.12.2007 | | Autor: | noobo2 |
okay soweit klar, nur hab cih das problem, dass der Graph der bei der einsetzung von h herauskommt also
y= [mm] \bruch{1-h²}{4}*\pi*h
[/mm]
nicht identisch mit dem in für r ist
[mm] y=r²*\pi*\wurzel{1-4r²}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo noobo!
Das muss ja auch so schein: schließlich handelt es sich bei $r_$ und $h_$ um unterschiedliche Variablen, die bei unterschiedlichen Werten ihre Extrema annehmen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Sa 29.12.2007 | | Autor: | noobo2 |
ja danke jetzt ist klar hab aber am noch ne andere frage ^^
also wir hatten bis jetzt nur die ableitungsformel [mm] x^{n}= n*x^{n-1} [/mm] und die summenregel also das man aneinandergereihte funktionen auseinandernimmt. Nun wollte ich wissen ob man rein mit diesen beiden Regeln ohne h-methode die Ableitung der Funktion
[mm] y=\bruch{1}{(3-x²)²} [/mm] bestimmen kann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Sa 29.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Man kann diese Funktion nur mit der Rege nicht ableiten.
Was ginge, wäre eine Umformung:
[mm] f(x)=\bruch{1}{(3-x²)²}
[/mm]
[mm] =(3-x²)^{-2}
[/mm]
Und das ganze jetzt per Kettenregel ableiten.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Sa 29.12.2007 | | Autor: | noobo2 |
ok hab cih mri gedacht danek für die prompte hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Sa 29.12.2007 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo noobo2
Wenn keine Frage mehr offen ist, kannst du Dein ok mit einer Mitteilung machen, dann erscheint die Frage nicht mehr als unbeantwortet im forum.
Eine gute Zeit wünscht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 So 30.12.2007 | | Autor: | noobo2 |
welche regel genau brauche ich denn um die Funktion
[mm] y=\bruch{1-h²}{4}*\pi*h [/mm] abzuleiten denn dass ist aj eigentlich auch ein produkt mehrerer Funktionen also benötige ich eiegntlich doch die Produktregel oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 So 30.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hi noboo2,
> welche regel genau brauche ich denn um die Funktion
> [mm]y=\bruch{1-h²}{4}*\pi*h[/mm] abzuleiten denn dass ist aj
> eigentlich auch ein produkt mehrerer Funktionen also
> benötige ich eiegntlich doch die Produktregel oder?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Produktregel ist richtig. Das Ergebnis (zur Deiner Kontrolle):
[mm]f'(h) = \bruch{1-3h^{2}}{4} * \pi [/mm]
Grüße, Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 So 30.12.2007 | | Autor: | noobo2 |
also wenn ich jetzt nach Produktregel vorgehen würde also :
[mm] 0-\bruch{2}{4}h²*\pi*h+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4}h²*\pi*h+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4}h²*\pi*1
[/mm]
das kann aber net stimmen, da net das gleiche raus kommt...aber ich habe einfach die urprüngliche Funktion in die drei "Faktoren" zerlegt und diese jeweils abgeleitet und so wie es die Poduktregel besagt jeweil mit den beiden anderen unveränderten Faktoren multipiliziert..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 So 30.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo noboo2,
Die Konstante [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] kannst Du ausklammern.
Weiter hast Du:
[mm]v=(1-x^{2}), u=x[/mm],
also [mm]\bruch{\pi}{4}*((1-x^{2})*1 +x*(\bruch{d}{dx}(1)+\bruch{d}{dx}*(-x^{2}))[/mm]
[mm]= \bruch{\pi}{4}*(-x^{2}+((\bruch{d}{dx}*(1)-2*x)*x+1)[/mm]
[mm]= \bruch{\pi}{4}*(1-3*x^{2})[/mm]
Viele Grüße, Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 So 30.12.2007 | | Autor: | noobo2 |
> Hallo noboo2,
>
> Die Konstante [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] kannst Du ausklammern.
>
> Weiter hast Du:
>
> [mm]v=(1-x^{2}), u=x[/mm],
>
> also [mm]\bruch{\pi}{4}*((1-x^{2})*1 +x*(\bruch{d}{dx}(1)+\bruch{d}{dx}*(-x^{2}))[/mm]
>
> [mm]= \bruch{\pi}{4}*(-x^{2}+((\bruch{d}{dx}*(1)-2*x)*x+1)[/mm]
>
> [mm]= \bruch{\pi}{4}*(1-3*x^{2})[/mm]
>
> Viele Grüße, Andreas
bezieht sich das jetzt auf meinen term den ich geschrieben hab ..ist x = h? bzw. weshlab fasst ihr alle das [mm] \pi*h [/mm] als einen Faktor auf und was ist denn an meinem term falsch??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 So 30.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo noboo2,
>
> bezieht sich das jetzt auf meinen term den ich geschrieben
> hab ..ist x = h? bzw. weshlab fasst ihr alle das [mm]\pi*h[/mm] als
> einen Faktor auf und was ist denn an meinem term falsch??
Sorry für die Verwirrung. Mea culpa. In Deiner Aufgabe ist die Variable natürlich die Höhe h. Insofern kannst Du x = h setzen.
[mm]\pi[/mm] ist genauso wie [mm]\bruch{1}{4}[/mm] eine Konstante Größe. Und es gilt die Regel: Eine Ableitung einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.
Insofern kannst Du den Term [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] bereits am Anfang ausklammern.
Viele Grüße, Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 So 30.12.2007 | | Autor: | noobo2 |
hi,
sorry, dass ich so schwer von Begriff bin aber aus welchem term denn ? aus dem anfänglichen?? also [mm] y=\bruch{1-h²}{4}*\pi*h [/mm] ??also quasie dann...
[mm] y=\bruch{\pi-h²*\pi}{4}*h [/mm] --> [mm] y=\bruch{h*\pi*h³*\pi-}{4}--> [/mm] und daraus jetzt [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] ausklammern..also
[mm] \bruch{\pi}{4}*(h-h³) [/mm] bezeihungsweise mri fällt grad auf Rex hat das schon erklärt..genau auf dem weg kann man die produktregel ja umgehen..ja jetzt ist klar..trotzdem kann man es ja auch damti rechnen , wie aus euren antworten hervorgeht..vielen dank nochmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 So 30.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo noboo2,
Du kannst entweder [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] am Anfang von [mm] y=\bruch{1-h²}{4}\cdot{}\pi\cdot{}h [/mm] ausklammern zu:
[mm] y=\bruch{\pi}{4}*(1-h²)*h [/mm] und dann ableiten, wie ich es vorgeschlagen habe, oder.......
Du machst es wie Marius es in seinem post vorschlägt und formst den Term zuerst um zu:
[mm]f(h)=\bruch{1-h²}{4}*\pi*h
=\bruch{\pi}{4}*(1-h²)*h
=\bruch{\pi}{4}*h-\bruch{\pi}{4}*h³[/mm]
und dann kannst Du die Terme [mm]\bruch{\pi}{4}*h[/mm] bzw. [mm]\bruch{\pi}{4}*h³[/mm] getrennt voneinander ableiten.
Beides ergibt dann insgesamt:
[mm]f'(h) = \bruch{1-3h^{2}}{4} * \pi [/mm] oder anders geschrieben: [mm] f'(h) = \bruch{\pi}{4} - \bruch{3h^{2}*\pi}{4} = \bruch{\pi}{4} * (1 - 3h^{2}) [/mm]
Und wie gesagt denk' dran: Eine Ableitung einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion. Und die Konstante hierbei ist [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm]
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 So 30.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Hier würde ich die Funktion erst umformen, du kannst die Produktregel dann umgehen.
(Das geht eigentlich immer, wenn nur ganzrationale Teilfunktionen vorhanden sind)
Also hier:
[mm] f(x)=\bruch{1-h²}{4}*\pi*h
[/mm]
[mm] =\bruch{\pi}{4}*(1-h²)*h
[/mm]
[mm] =\bruch{\pi}{4}*h-\bruch{\pi}{4}*h³
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 30.12.2007 | | Autor: | noobo2 |
ja das stimmt schon man kann in diesem fall die regel umgehen nur wenn man es jetzt stur anch ihr ableiten würde wie würde es denn ohne diesen nunja "trick" aussehen?? was ist an meinem Term falsch??
P.S. erstmal nochmal danke für dei Antwort ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 So 30.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] f(x)=\underbrace{\left(\bruch{1}{4}-\bruch{h²}{4}\right)}_{u}\cdot{}\underbrace{\pi\cdot{}h}_{v}
[/mm]
[mm] f'(x)=\underbrace{\pi}_{v'}*\underbrace{\bruch{1-h²}{4}}_{u}+\underbrace{\pi\cdot{}h}_{v}*\underbrace{\left(-\bruch{h}{2}\right)}_{u'}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mo 31.12.2007 | | Autor: | noobo2 |
> Hallo
>
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> [mm]f(x)=\underbrace{\left(\bruch{1}{4}-\bruch{h²}{4}\right)}_{u}\cdot{}\underbrace{\pi\cdot{}h}_{v}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\underbrace{\pi}_{v'}*\underbrace{\bruch{1-h²}{4}}_{u}+\underbrace{\pi\cdot{}h}_{v}*\underbrace{\left(-\bruch{h}{2}\right)}_{u'}[/mm]
>
weshlab kann ich denn dan bei der zweiten Ableitung nicht genauso vorgehen
y= [mm] \bruch{\pi}{4}*(1-3h²) [/mm] und dann [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] als u und die Klammer als v auffassen und dann weiter schreiben..weil eine ableitung einer konstanten ja die konstante bleibt ..
[mm] y=\bruch{\pi}{4}(1-3h²)+(-6h)*\bruch{\pi}{4}
[/mm]
sondern muss die erste klammer mit dem (1-3h²) weglassen damit ich auf die richtige zweite Ableitung komme??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mo 31.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
> > Hallo
Hallo auch
> >
> >
> >
> [mm]f(x)=\underbrace{\left(\bruch{1}{4}-\bruch{h²}{4}\right)}_{u}\cdot{}\underbrace{\pi\cdot{}h}_{v}[/mm]
> >
> >
> [mm]f'(x)=\underbrace{\pi}_{v'}*\underbrace{\bruch{1-h²}{4}}_{u}+\underbrace{\pi\cdot{}h}_{v}*\underbrace{\left(-\bruch{h}{2}\right)}_{u'}[/mm]
> >
>
>
> weshlab kann ich denn dan bei der zweiten Ableitung nicht
> genauso vorgehen
> y= [mm]\bruch{\pi}{4}*(1-3h²)[/mm] und dann [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] als u
> und die Klammer als v auffassen und dann weiter
> schreiben..weil eine ableitung einer konstanten ja die
> konstante bleibt ..
Nein f(x)=c hat die Ableitung f'(x)=0, und somit fällte bei der Produktregel ein Teilterm weg, da mit 0 multipliziert wird
> [mm]y=\bruch{\pi}{4}(1-3h²)+(-6h)*\bruch{\pi}{4}[/mm]
> sondern muss die erste klammer mit dem (1-3h²) weglassen
> damit ich auf die richtige zweite Ableitung komme??
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mo 31.12.2007 | | Autor: | noobo2 |
aber erbani (sry falsl der name falsch geschrieben ist) hat doch ein paar posts drübe rgeschrieben, dass die ableitung eine konstanten mal einer funktion immer die konstnate mal die ableitung der funktion ist ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Mo 31.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo noboo2,
> aber erbani (sry falsl der name falsch geschrieben ist) hat
> doch ein paar posts drübe rgeschrieben, dass die ableitung
> eine konstanten mal einer funktion immer die konstnate mal
> die ableitung der funktion ist ...
Das gilt nur, wenn da auch die Variable mit dabei ist, nach der Du Ableiten willst. Du kannst nicht einfach [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] als u annehmen, weils da ja Dein h gar nicht dabei ist.
Und es ist ja richtig, was Marius sagt, die Ableitung einer Konstanten ist immer Null.
Viele Grüße, Andreas (und übrigens ebarni)
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