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| Aufgabe | | einer halbkugel ist ein zylinder mit möglichst großem volumen einzubeschreiben. hinweis zur lösung: verwende für die nebenbedinung den satz des pythagoras |
hallo leute,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich versteh nicht wie ich die aufgabe rechnen soll.....kann mir jemand helfen...ich muss die aufgabe am dienstag in mathe an der tafel vorstellen....
also bitte schnell drauf antworten
greetz
buccaneers
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 So 17.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Mal dir mal den Querschnitt dieser Konstruktion auf, dann solltest du das Problem fast schon sehen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn du dann konkrete Rückfragen hast, stell sie.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Du musst kennen:
1.) Formel für das Volumen eines Zylinders (wenn Radius und Höhe bekannt sind)
2.) Satz des Pythagoras (=Zusammenhang zwischen Radius der Kugel, Radius des Zylinders und Höhe des Zylinders)
3.) Was heißt "möglichst groß" = wie ermittelt man Extremwerte
Als Hilfe füge ich die Skizze bei
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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kann mir einer bitte den ansatz für die aufgabe geben??!?!?!?! ich versteh net, wie ich anfangen soll
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Mo 18.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Die Flächenfunktion für das Rechteck ist ja [mm] A(r_{z},h_{z})=2r_{z}*h_{z}.
[/mm]
(Ich nehme mal rabileins Notation, meine ist nämlich falsch)
Und mit dem Satz des Pythagoras bekommst du einen Zusammenhang zwischen r und h, nämlich [mm] r_{z}²+h_{z}²=r_{k}²
[/mm]
Also: [mm] h_{z}=\wurzel{r_{k}²-r_{z}²}
[/mm]
Das jetzt in die Rechteckformel einsetzen:
[mm] A(r_{z})=2r_{z}*\wurzel{r_{k}²-r_{z}²}
[/mm]
Und da [mm] r_{k} [/mm] bekannt ist, kannst du jetzt hiervon das Maximum bestimmen.
Marius
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aber ich soll doch das volumen bestimmen!!!
wieso ist Rk schon bekannt?!?!?!
kannst du mir vll noch die nächsten schritte erläutern???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Mo 18.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Dann nimm halt die Volumenformel.
[mm] V=\pi*r_{z}²*h_{z}
[/mm]
[mm] =\pi*r_{z}²*\wurzel{r_{k}²-r_{z}²}
[/mm]
Und da die Kugel gegeben ist, ist auch ihr Radius [mm] r_{k} [/mm] gegeben.
Von der Volumenformel suchst du jetzt einen Hochpunkt H(x/V(x))
Also: Notwendige Bedingung: [mm] V'(r_{z})=0
[/mm]
Hinreichende Bed. [mm] V''(r_{z})<0
[/mm]
Jetzt bist du wieder dran.
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:08 Mo 18.06.2007 | | Autor: | buccaneers |
die obig genannte volumengleich: für welches V(?) gilt die.....un wie lautet die 1.+2. ableitung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mo 18.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
WIR LÖSEN KEINE AUFGABEN wir versuchen zu helfen. Du sagst kein einziges Mal, was du jetzt verstanden hast und versuchst jemand dazu zu bringen die Aufgabe komplett für dich zu lösen!
Denk mal nach für welches V! wieviel verschieden kommen denn vor?
Und Ableiten hast du auch gelernt, also tu mal was und wir korrigieren wenn du nett bittest.
Gruss leduart
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also ich hab jetzt verstanden, dass ich aus dem satz des pytagoras+der volumengleichung die zielfunktion erhalte....doch wie bekomm ich von [mm] \pi [/mm] die erste ableitung?? ist das [mm] \pi [/mm] hoch -1??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Mo 18.06.2007 | | Autor: | buccaneers |
mein vorschlag für die 1. ableitung ist:
[mm] 2r*\wurzel{2r-2h}
[/mm]
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wie bildet man die 1. ableitung von einer wurzel ....wir haben des noch nie im unterricht behandelt un bin echt langsam am verzweifeln
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Mo 18.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo buccaneers,
zunächst einmal zu deiner Frage nach der "Ableitung von pi": pi ist eine Zahl (3,1415...) die Ableitung einer konstaten Zahl solltest du kennen.
dann zu der Wurzel:
du kannst [mm] \wurzel{f(x)} [/mm] auch schreiben als [mm] (f(x))^{\bruch{1}{2}}, [/mm] dies sollte dir auch dort weiterhelfen, falls nicht frag konkret nach dem Problem.
Schöne Grüße
Tobbi
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Hallo buccaneers!
...und einen schönen guten Abend!
Ich habe nicht lange Zeit, daher fasse ich mich ziemlich kurz:
Die erste Ableitung erhälst du durch Differenziation. Da es sich hier um eine verkettete Funktion handelt (quadratische Funktion in Wurzelfunktion!) musst du hier die  Kettenregel anwenden. Zusätlich sind zwei Funktionen multiplikativ miteinander verknüpft, sodass auch die Produktregel zum Einsatz kommen muss.
[mm]r_k[/mm] sei hierbei als Konstante angesehen, dann gilt:
Als erstes betrachten wir einmal den folgenden Teil der Funktion:
[mm]m(r_k):=\wurzel{r_k^2-r_z^2}[/mm]
Hierbei könnnen wir unter Verwendung der Kettenregel setzen:
[mm]h(g)=\wurzel{g}[/mm] mit [mm]g(r_k)=r_k^2-r_z^2[/mm]
Dann gilt:
[mm]\left \bruch{d}{dr_k} \right \wurzel{r_k^2-r_z^2}=h'(g)*g'(r_k)[/mm]
[mm]=\left \bruch{1}{2*\wurzel{r_k^2-r_z^2}} \right*2r_k=\left \bruch{r_k}{\wurzel{r_k^2-r_z^2}} \right[/mm]
Nun betrachten wir den anderen Teil:
[mm]n(r_k):=r_z^2[/mm]
[mm]\left \bruch{d}{dr_k} \right r_z^2=2r_z[/mm]
Nun kommt die Produktregel; nach dieser gilt:
[mm]\left \bruch{d(m*n)}{dr_k} \right=n*\left \bruch{d}{dr_k}m+m*\left \bruch{d}{dr_k}n[/mm]
Und somit entsteht (Es muss berücksichtig werden, dass [mm]\pi[/mm] zu Begin "rausgezogen" wurde!)...
[mm]V'(r_z)=\pi*\left(r_z^2*\left \bruch{r_k}{\wurzel{r_k^2-r_z^2}} \right+\wurzel{r_k^2-r_z^2}*2r_z\right)[/mm]
Ausklammern liefert:
[mm]V'(r_z)=\pi*r_z*\left(r_z*\left \bruch{r_k}{\wurzel{r_k^2-r_z^2}} \right+\wurzel{r_k^2-r_z^2}*2\right)[/mm]
...nun müsstest du diese Ableitung [mm]0[/mm] setzen!
...also die Gleichung zu lösen:
[mm]0=\pi*r_z*\left(r_z*\left \bruch{r_k}{\wurzel{r_k^2-r_z^2}} \right+\wurzel{r_k^2-r_z^2}*2\right)[/mm]
Ich hoffe, ich habe geholfen!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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> aber ich soll doch das volumen bestimmen!!!
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> wieso ist Rk schon bekannt?!?!?!
Der Radius der Kugel ist laut Aufgabenstellung bekannt. Wenn es dir leichter fällt, dann denke dir eine Zahl aus: Zum Beispiel, dass die Kugel einen Radius von 10 cm hat.
Und nun nimm einmal an, der Zylinder habe einen Radius von 1 cm. Dann rechne das Volumen des Zylinders aus. Und als nächstes nimmst du an, der Zylinder habe einen Radius von 2 cm, und dann rechnest du wiederum das Volumen von dem Zylinder aus .... einfach nur als "Fingerübung", damit du überhaupt weißt, was du machen musst.
Und bei irgendeinem Zylinderradius ist dann das Volumen des Zylinders am größten.
Das mag jetzt zwar alles etwas umständlicher sein, aber du musst ja erst einmal begreifen, worum es hier überhapt geht. Ansonsten kannst du die Aufgabe ja nicht lösen.
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