f^2=Id Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Sa 09.11.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | Sei [mm] $f:\IR^n \to \IR^n$ [/mm] linear mit [mm] $f^2=Id_{\IR^n}$
[/mm]
1. Bestimmen Sie die möglichen Eigenwerte von $f$.
2. Beweisen Sie, dass $f$ diagonalisierbar ist. |
Hallo liebes Forum,
Ich habe dabei folgende Idee, bin mir aber nicht sicher, ob ich diese so formulieren kann.
Sei A [mm] \in \IR^n [/mm] die Matrixdarstellung von f.
Dann folgt aus [mm] $f^2=Id_{\IR^n}$
[/mm]
[mm] $A*A=I_n$ [/mm]
[mm] $A^2-I_n=0$ [/mm] bei $0 [mm] \in \IR^n$
[/mm]
[mm] $A^2-A^0=0$ [/mm]
Sei nun x ein Vielfaches vom Minimalpolynom von A, so folgt:
[mm] $x^2-x^0=x^2-1=(x-1)(x+1)$
[/mm]
Somit können die Eigenwerte von A nur 1 und -1 sein und für das Minimalpolynom von A existieren drei Möglichkeiten:
[mm] $\mu A_1=(x-1)$
[/mm]
[mm] $\mu A_2=(x+1)$
[/mm]
[mm] $\mu A_3=(x+1)(x-1)$
[/mm]
Kann ich so beginnen?
Würde mich über einen Kommentar freuen,
Micha
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> Sei [mm]f:\IR^n \to \IR^n[/mm] linear mit [mm]f^2=Id_{\IR^n}[/mm]
>
> 1. Bestimmen Sie die möglichen Eigenwerte von [mm]f[/mm].
> 2. Beweisen Sie, dass [mm]f[/mm] diagonalisierbar ist.
> Hallo liebes Forum,
> Ich habe dabei folgende Idee, bin mir aber nicht sicher,
> ob ich diese so formulieren kann.
>
Hallo,
> Sei A [mm]\in \IR^n[/mm] die Matrixdarstellung von f.
> Dann folgt aus [mm]f^2=Id_{\IR^n}[/mm]
>
> [mm]A*A=I_n[/mm]
> [mm]A^2-I_n=0[/mm] bei [mm]0 \in \IR^n[/mm]
> [mm]A^2-A^0=0[/mm]
>
> Sei nun x ein Vielfaches vom Minimalpolynom von A, so folgt:
Also ist das Minimalpolynom von A ein Teiler von
p(x)=
> [mm]x^2-x^0=x^2-1=(x-1)(x+1)[/mm]
>
> Somit können die Eigenwerte von A nur 1 und -1 sein und
> für das Minimalpolynom von A existieren drei
> Möglichkeiten:
>
> [mm]\mu A_1=(x-1)[/mm]
> [mm]\mu A_2=(x+1)[/mm]
> [mm]\mu A_3=(x+1)(x-1)[/mm]
Weil das charakteristische Polynom dieselben Nullstellen wie das Minimalpolynom hat,
> können die Eigenwerte von A
also auch von f
>nur 1 und -1 sein
>
> Kann ich so beginnen?
Ja.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Sa 16.11.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Angela,
viele Dank für deine Antwort. Auch wenn die Frage schon einige Tage alt ist, so möchte ich daran weiter arbeiten. Ich suche gerade eine Verbindung, wie ich Punkt 2 beweisen kann.
Dabei könnte man eine der folgenden Möglichkeiten benutzen:
Eine Matrix ist diaganalisierbar, wenn die Eigenvektoren eine Basis von [mm] \IK^n [/mm] bilden.
oder wenn
die Geometrische Vielfachheit gleich der Algeraischen Vielfachheit gilt für alle Eigenwerte von f bzw A.
... momentan kommt mir Weg zwei leichter vor, aber ich hab noch keine konkrete Idee und würde mich über einen Tip freuen.
Danke, Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Mo 18.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Angela,
> viele Dank für deine Antwort. Auch wenn die Frage schon
> einige Tage alt ist, so möchte ich daran weiter arbeiten.
> Ich suche gerade eine Verbindung, wie ich Punkt 2 beweisen
> kann.
> Dabei könnte man eine der folgenden Möglichkeiten
> benutzen:
>
> Eine Matrix ist diaganalisierbar, wenn die Eigenvektoren
> eine Basis von [mm]\IK^n[/mm] bilden.
>
> oder wenn
>
> die Geometrische Vielfachheit gleich der Algeraischen
> Vielfachheit gilt für alle Eigenwerte von f bzw A.
>
> ... momentan kommt mir Weg zwei leichter vor, aber ich hab
> noch keine konkrete Idee und würde mich über einen Tip
> freuen.
> Danke, Micha
>
Für das Minimalpolynom [mm] \mu [/mm] von f gibt es 3 Möglichkeiten:
$ [mm] \mu(x)=(x-1) [/mm] $
$ [mm] \mu(x)=(x+1) [/mm] $
$ [mm] \mu(x)=(x+1)(x-1) [/mm] $
Nun ist [mm] \mu(f)=0
[/mm]
Im ersten Fall ist dann f= id
Im Zweiten Fall ist f=-id
Und im 3. Fall ist (f+id)(f-id)=0, also
$ [mm] \IR^n [/mm] =kern(f+id) [mm] \oplus [/mm] kern (f-id)$
FRED
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