f: M -> N Beweise mit Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe P1: Sei f : M → N eine Abbildung, A, B ⊂ M; A' , B' ⊂ N beliebige Teilmengen. Beweisen Sie:
a) f(A ∩ B) ⊂ (f(A) ∩ f(B)) |
Hallo,
mein Lösungsansatz ist:
Da es um beliebige Mengen geht, definier ich mir die Mengen M und N für ein mögliches Gegenbeispiel.
M ist [mm] \IR
[/mm]
N ist [mm] \IR^{2}
[/mm]
A=[1,2,3]
B=[3,4,5]
f(A [mm] \cap [/mm] B)=[9]
f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) = [9]
[9] ist aber keine echte Teilmenge von [9] da es identisch ist, daher ist die Aussage nicht wahr.
Bin ich hier auf dem richtigen Dampfer oder ist das falsch?
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Hiho,
Das wirst du nicht finden, da die Aussage stimmt.
> f(A [mm]\cap[/mm] B)=[9]
> f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) = [9]
Ohne Angabe von f, kannst du schwerlich eine Aussage darüber treffen, wie f(A) aussieht.
> [9] ist aber keine echte Teilmenge von [9] da es identisch
> ist, daher ist die Aussage nicht wahr.
>
> Bin ich hier auf dem richtigen Dampfer oder ist das falsch?
Mit [mm] $\subset$ [/mm] ist in obiger Aufgabe nicht "echte Teilmenge", sondern "Teilmenge" gemeint.
Das ist sicherlich etwas verwirrend, aber oftmals (so gut wie immer) schreibt man statt [mm] $\subseteq$ [/mm] einfach [mm] $\subset$.
[/mm]
Es sei denn, ihr habt natürlich explizit was anderes festgelegt.
Gruß,
Gono
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ok, das [mm] \subset [/mm] in dieser Aufgabe [mm] \subseteq [/mm] bedeutet dachte ich mir schon (lässt ja auch die Aufgabenstellung vermuten)
Ok, versuche das noch, aber ich habe eine Frage:
bedeutet A' hier [mm] \overline{A} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Fr 12.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> ok, das [mm]\subset[/mm] in dieser Aufgabe [mm]\subseteq[/mm] bedeutet dachte
> ich mir schon (lässt ja auch die Aufgabenstellung
> vermuten)
>
> Ok, versuche das noch, aber ich habe eine Frage:
>
> bedeutet A' hier [mm]\overline{A}[/mm] ?
Nein,das bedeutet einfach eine weitere Menge
Fred
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Hallo,
ich wollte mal fragen was denn diese Aufgabe überhaupt bedeutet.
Also ich habe 2 Mengen M, N und die Abbildung f.
(nur als Beispiel) f wäre dann ne Pistole, M die Munition, und N die Ziele auf einer Schussplatzpuppe(dieses Pappding^^)
Dann gibt es noch Teilmengen von M, A und B, von mir aus Platzpatronen mit f(A)={a [mm] \not\in [/mm] N} und rot lackierte Patronen f(B)={b [mm] \in [/mm] D }
[mm] D=N\cup \overline{N}
[/mm]
In diesem Fall wäre f(A [mm] \cap [/mm] B )={x [mm] \not\in [/mm] N}, weil nun eine rot lackierte Platzpatrone verwendet wird, und die offensichtlich nicht ins Ziel kommt.
Hab ich das richtig verstanden?
Ja und wo ist jetzt der Unterschied zwischen
"ich schieß mit allen rot-lackierten Platz-Patronen und schau mir dann das Bild an"
und
"ich schieß alle Patronen ab, die entweder Platzpatronen sind oder rot lackiert sind und guck mir dann an, was die rot-lackierten Platz-Patronen getroffen haben"
Kann mir das jemand erklären warum das nicht ein und dasselbe ist? (oder ein besseres Beispiel)
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Hallo,
wir nehmen mal
[mm] M:=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\},
[/mm]
N:={a,b,c,d,e,f,g},
und die Abbildung [mm] f:M\to [/mm] N mit
f(1)=a
f(2)=b
f(3)=c
f(4)=a
f(5)=b
f(6)=d
f(7)=e
f(8)=d
f(9)=e
Weiter sei [mm] A:=\{1,2,3\},
[/mm]
[mm] B:=\{3,5,6\}.
[/mm]
Es ist [mm] f(A\cap B)=f({3})=\{c\},
[/mm]
und es ist [mm] f(A)\cap f(B)=f(\{1,2,3\})\cap f(\{3,5,6\})=(\{a,b,c\}\cap\{b,c,d\}=\{b,c\},
[/mm]
und offenbar ist [mm] \{c\}\subseteq \{b,c\}.
[/mm]
Darum geht es.
LG Angela
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A, B [mm] \subset [/mm] M
f: M -> N
[mm] f(A)=f({a_{1},a_{2}...a_{n}})
[/mm]
[mm] f(B)=f({b_{1},b_{2}...b_{n}})
[/mm]
A [mm] \cap [/mm] B=C
[mm] \forall [/mm] c. c [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] c [mm] \in [/mm] B
f(A [mm] \cap B)=f(C)=f({c_{1},c_{2}...c_{n}})
[/mm]
f(A) [mm] \cap f(B)=f({a_{1},a_{2}...a_{n}}) \cap f({b_{1},b_{2}...b_{n}}))=Z
[/mm]
Sei z [mm] \in [/mm] Z fest aber beliebig
dann gibt es ein y [mm] \in [/mm] C mit z=f(y)
dann ist y [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] c [mm] \in [/mm] B und somit z [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \wedge [/mm] z [mm] \in [/mm] f(B).
Daraus folgt z [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
Daraus folgt f(A ∩ B) [mm] \subseteq [/mm] (f(A) ∩ f(B))
Danke Angela, das Beispiel hat mir auf jedenfall geholfen es erstmal zu verstehen.
Ist obiges richtig oder nicht?
Ich habe mir halt einen sehr ähnlichen Beweis angeguckt, und ich krieg Bauchschmerzen beim Einführen von einer Variable die in beiden Mengen steckt.
warum sagt man
"dann gibt es ein y [mm] \in [/mm] C mit z=f(y)" was heißt in diesem Satz das "dann"?
Ist das Teil der Annahme oder eine Schlussfolgerung?
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> A, B [mm]\subset[/mm] M
>
> f: M -> N
>
> [mm]f(A)=f({a_{1},a_{2}...a_{n}})[/mm]
> [mm]f(B)=f({b_{1},b_{2}...b_{n}})[/mm]
Hallo,
Dein Beweis ist so nicht richtig.
Ich möchte Dich auf ein paar Schwächen aufmerksam machen.
Du sagst, daß
[mm] A=\{a_{1},a_{2}...a_{n}\}, [/mm]
[mm] B=\{b_{1},b_{2}...b_{n}\}.
[/mm]
Das ist zu speziell. Du behauptest erstens damit, daß die Mengen endlich sind, und zweitens, daß sie gleichviele Elemente enthalten.
Es ist aber nirgendwo die Rede davon, daß es sich bei M (und folglich ihren Teilmengen) um endliche oder abzählbare Mengen handelt.
>
> A [mm]\cap[/mm] B=C
> [mm]\forall[/mm] c. c [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] c [mm]\in[/mm] B
> f(A [mm]\cap B)=f(C)=f({c_{1},c_{2}...c_{n}})[/mm]
Dasselbe Problem wie oben.
> f(A) [mm]\cap f(B)=f({a_{1},a_{2}...a_{n}}) \cap f({b_{1},b_{2}...b_{n}}))=Z[/mm]
>
> Sei z [mm]\in[/mm] Z fest aber beliebig
> dann gibt es ein y [mm]\in[/mm] C mit z=f(y)
Dieser Schluß stimmt nicht.
Schau Dir mein Beispiel an: nimm aus [mm] f(A)\cap [/mm] f(B) das Element b.
Kein Element aus [mm] A\cap [/mm] B wird auf b abgebildet.
Damit ist Dein Beweis für die Tonne - Du hattest ja selbst schon wegen dieser Stelle Zweifel angemeldet.
Zeigen möchtest Du [mm] f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap [/mm] f(B).
Das macht man so: sei [mm] y\in f(A\cap [/mm] B). Und dann zeigst Du, daß dieses y auch in [mm] f(A)\cap [/mm] f(B) liegt.
Ich mache den Anfang:
sei [mm] y\in f(A\cap [/mm] B).
Dann gibt es ein [mm] x\in A\cap [/mm] B mit f(x)=y ... ... ... ... ... ... ...
LG Angela
> dann ist y [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] c [mm]\in[/mm] B
> und somit z [mm]\in[/mm] f(A)
> [mm]\wedge[/mm] z [mm]\in[/mm] f(B).
> Daraus folgt z [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
> Daraus folgt f(A ∩ B) [mm]\subseteq[/mm] (f(A) ∩ f(B))
>
> Danke Angela, das Beispiel hat mir auf jedenfall geholfen
> es erstmal zu verstehen.
>
> Ist obiges richtig oder nicht?
> Ich habe mir halt einen sehr ähnlichen Beweis angeguckt,
> und ich krieg Bauchschmerzen beim Einführen von einer
> Variable die in beiden Mengen steckt.
>
> warum sagt man
> "dann gibt es ein y [mm]\in[/mm] C mit z=f(y)" was heißt in diesem
> Satz das "dann"?
> Ist das Teil der Annahme oder eine Schlussfolgerung?
>
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z.z.: $ [mm] f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap [/mm] $ f(B).
sei $ [mm] y\in f(A\cap [/mm] $ B).
Dann gibt es ein $ [mm] x\in A\cap [/mm] $ B mit f(x)=y
Dann ist x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B.
Und jetzt der Schritt den ich nicht verstehe:
Somit ist y [mm] \in [/mm] f(A) und y [mm] \in [/mm] f(B)
Warum kann man darauf schließen?
Wenn es x gibt, dass in A und B steckt, dann gibt es auch y im Bild von A (f(A)), dass gleichzeitig auch im Bild von B (f(B))steckt?
Versteh ich diesen Schritt richtig?
Außerdem wollte ich fragen, was ich denn stattdessen über A(und somit B) aussagen kann.
A={irgendwelche Elemente oder eben nichts}
aber was wäre die richtige Schreibweise dafür?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 So 14.02.2016 | | Autor: | hippias |
> z.z.: [mm]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap[/mm] f(B).
> sei [mm]y\in f(A\cap[/mm] B).
> Dann gibt es ein [mm]x\in A\cap[/mm] B mit f(x)=y
> Dann ist x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B.
>
> Und jetzt der Schritt den ich nicht verstehe:
> Somit ist y [mm]\in[/mm] f(A) und y [mm]\in[/mm] f(B)
>
> Warum kann man darauf schließen?
> Wenn es x gibt, dass in A und B steckt, dann gibt es auch
> y im Bild von A (f(A)), dass gleichzeitig auch im Bild von
> B (f(B))steckt?
> Versteh ich diesen Schritt richtig?
Nein, "dann gibt es auch $y$ im Bild von $A$" ist Unsinn: $y$ war zu Beginn des Beweises aus [mm] $f(A\cap [/mm] B)$ gewählt. Nach Definition ist $y= f(x)$ für ein [mm] $x\in A\cap [/mm] B$. Wegen [mm] $x\in [/mm] A$ ist nach Definition $y= [mm] f(x)\in [/mm] f(A)$. Ebenso [mm] $y\in [/mm] f(B)$.
>
> Außerdem wollte ich fragen, was ich denn stattdessen über
> A(und somit B) aussagen kann.
> A={irgendwelche Elemente oder eben nichts}
> aber was wäre die richtige Schreibweise dafür?
Wenn nichts weiter über $A$ bekannt ist, dann kannst Du nur sagen, dass $A= [mm] \{x|x\in A\}$.
[/mm]
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"Wegen $ [mm] x\in [/mm] A $ ist nach Definition $ y= [mm] f(x)\in [/mm] f(A) $."
Viiielen Dank, das habe ich jetzt verstanden.
Aber bedeutet:
"$ A= [mm] \{x|x\in A\} [/mm] $." A beinhaltet alles, was in A enthalten sind?
Also quasi eine Tautologie und daher nicht wirklich schreibwert oder?
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> "[mm] A= \{x|x\in A\} [/mm]." [...]
ist
> nicht wirklich
> schreibwert oder?
Genau.
LG Angela
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z.z.: $ [mm] f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap [/mm] $ f(B).
sei $ [mm] y\in f(A\cap [/mm] $ B).
Dann gibt es ein $ [mm] x\in A\cap [/mm] $ B mit f(x)=y
Dann ist x $ [mm] \in [/mm] $ A und x $ [mm] \in [/mm] $ B.
Somit ist y $ [mm] \in [/mm] $ f(A) und y $ [mm] \in [/mm] $ f(B), denn
x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] y=f(x) [mm] \in [/mm] f(A) und
x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] y=f(x) [mm] \in [/mm] f(B).
So und der letzte Schritt:
Zu zeigen war $ [mm] f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap [/mm] $ f(B).
[mm] y\in f(A\cap [/mm] B)
y $ [mm] \in [/mm] $ f(A) [mm] \cap [/mm] y $ [mm] \in [/mm] $ f(B) [mm] \gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
[mm] (y\in f(A\cap [/mm] B)) [mm] \cap [/mm] (y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)) [mm] \gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (f(A) [mm] \cap [/mm] f(B))
So ab hier weiß ich nicht weiter.
Weil woher kommt jetzt das f(A [mm] \cap [/mm] B) eine Teilmenge ist von f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) ?
In dem Beweis, der ziemlich genau dasselbe macht, steht einfach nur "daraus folgt", ja aber verstehs halt nicht, warum folgt es daraus?
Denn es könnte wenn man garnichts weiß ja entweder umgkehrt sein oder das beide Terme die selben Elemente beinhalten, wie in Spezialfällen wo A=B.
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Hallo,
> z.z.: [mm]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap[/mm] f(B).
> sei [mm]y\in f(A\cap[/mm] B).
> Dann gibt es ein [mm]x\in A\cap[/mm] B mit f(x)=y
Weil x in [mm] A\cap [/mm] B ist,
> Dann ist x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B.
> Somit ist y [mm]\in[/mm] f(A) und y [mm]\in[/mm] f(B).
Dieser Tatbestand ist nicht weiter erklärungsbedürftig, Du mußt ihn für Deine Chefs gar nicht aufschreiben - aber gut, daß Du Dir unten klargemacht hast, warum es so ist.
Du kannst jetzt ganz schnell zum Ende kommen:
folglich ist [mm] y\in f(A)\cap [/mm] f(B).
Gezeigt hast Du:
jedes y, welches in [mm] f(A\cap [/mm] B) liegt, liegt auch in [mm] f(A)\cap [/mm] f(B).
Nach Def. der Teilmenge (schau sie Dir in Deinen Unterlegen nochmal genau an!) ist also [mm] f(A\cap [/mm] B) [mm] \subseteq f(A)\cap [/mm] f(B).
LG Angela
> , denn
> x [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] y=f(x) [mm]\in[/mm] f(A) und
> x [mm]\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] y=f(x) [mm]\in[/mm] f(B).
>
> So und der letzte Schritt:
> Zu zeigen war [mm]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap[/mm] f(B).
>
> [mm]y\in f(A\cap[/mm] B)
> y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] y [mm]\in[/mm] f(B) [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
> [mm](y\in f(A\cap[/mm] B)) [mm]\cap[/mm] (y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)) [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in[/mm]
> f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cap[/mm] (f(A) [mm]\cap[/mm] f(B))
>
> So ab hier weiß ich nicht weiter.
> Weil woher kommt jetzt das f(A [mm]\cap[/mm] B) eine Teilmenge ist
> von f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) ?
>
> In dem Beweis, der ziemlich genau dasselbe macht, steht
> einfach nur "daraus folgt", ja aber verstehs halt nicht,
> warum folgt es daraus?
> Denn es könnte wenn man garnichts weiß ja entweder
> umgkehrt sein oder das beide Terme die selben Elemente
> beinhalten, wie in Spezialfällen wo A=B.
>
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Ok, nach der Definition:
f(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) $ [mm] \subseteq [/mm] $ (f(A) $ [mm] \cap [/mm] $ [mm] f(B)):\gdw \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A $ [mm] \cap [/mm] $ B): y [mm] \in [/mm] (f(A) $ [mm] \cap [/mm] $ f(B))
Da der [mm] \gdw [/mm] auch einen Rückschluss erlaubt, brauch ich hier eigentlich auch nichts anders schreiben, aber:
Kann ich auch das linke mit dem rechten vertauschen?
Und warum ist vor dem Pfeil ein ":"? Ist der Pfeil nicht ausreichend(heißt doch "dann und nur dann"?
Wenn ich jetzt die Aufgabe so nehme, wie sie nunmal formuliert ist und davon ausgehe, dass wirklich [mm] \subset [/mm] (aka c mit durchgestrichenem Strich drunter) gemeint ist, müsste ich dann die Aussage verneinen?
Oder müsste ich dann noch ein Gegenbeispiel zu [mm] \subset [/mm] anführen?
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> Ok, nach der Definition:
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> f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\subseteq[/mm] (f(A) [mm]\cap[/mm] [mm]f(B)):\gdw \forall[/mm] y [mm]\in[/mm]
> f(A [mm]\cap[/mm] B): y [mm]\in[/mm] (f(A) [mm]\cap[/mm] f(B))
> Da der [mm]\gdw[/mm] auch einen Rückschluss erlaubt, brauch ich
> hier eigentlich auch nichts anders schreiben, aber:
> Kann ich auch das linke mit dem rechten vertauschen?
Hallo,
ja.
> Und warum ist vor dem Pfeil ein ":"?
Es war bislang der Begriff Teimenge bzw. die Beziehung [mm] A\subseteq [/mm] B nicht bekannt.
Der Doppelpunkt bedeutet, daß diese Mengenbeziehung nun definiert wird.
> Ist der Pfeil nicht
> ausreichend(heißt doch "dann und nur dann"?
Ab sofort ist er ausreichend. "Teilmenge" ist nun definiert.
>
>
> Wenn ich jetzt die Aufgabe so nehme, wie sie nunmal
> formuliert ist und davon ausgehe, dass wirklich [mm]\subset[/mm]
> (aka c mit durchgestrichenem Strich drunter) gemeint ist,
> müsste ich dann die Aussage verneinen?
Wenn bei Euch mit [mm] \subset [/mm] gemeint sit, daß es sich um eine echte Teilmenge handelt, stimmt die Aussage nicht.
> Oder müsste ich dann noch ein Gegenbeispiel zu [mm]\subset[/mm]
> anführen?
Ja.
Man beweist Aussagen immer durch einen allgemeingültigen Beweis.
Man widerlegt Aussagen durch ein Gegenbeispiel. Ein einziges Gegenbeispiel reicht.
LG Angela
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Ok, dann nochmal für die echte Teilmenge:
Sei f : M → N eine Abbildung, A, B [mm] \subset [/mm] M; A' , B' [mm] \subset [/mm] N beliebige Teilmengen.
a) z.z. f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subset [/mm] (f(A) [mm] \cap [/mm] f(B))
Sei A=B
f(A [mm] \cap [/mm] B)=f(A [mm] \cap [/mm] A)=f(A)
f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)=f(A) [mm] \cap [/mm] f(A)=f(A)
f(A) [mm] \subset [/mm] f(A) stimmt nicht.
reicht das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Do 18.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ok, dann nochmal für die echte Teilmenge:
>
> Sei f : M → N eine Abbildung, A, B [mm]\subset[/mm] M; A' , B'
> [mm]\subset[/mm] N beliebige Teilmengen.
>
> a) z.z. f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\subset[/mm] (f(A) [mm]\cap[/mm] f(B))
> Sei A=B
> f(A [mm]\cap[/mm] B)=f(A [mm]\cap[/mm] A)=f(A)
> f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)=f(A) [mm]\cap[/mm] f(A)=f(A)
> f(A) [mm]\subset[/mm] f(A) stimmt nicht.
>
> reicht das?
Ja
FRED
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| Aufgabe | f: M -> N
A,B [mm] \subset [/mm] M
A',B' [mm] \subset [/mm] N
Beweisen Sie
[mm] b)f^{-1}(A' \cap [/mm] B')=f(A') [mm] \cap [/mm] f(B') |
A'=C
B'=D
(einfach weil die Striche doof sind ;) )
sei y [mm] \in f^{-1}(C \cap [/mm] D)
dann gibt es ein x [mm] \in [/mm] C [mm] \cap [/mm] D mit [mm] f^{-1}(x)=y
[/mm]
Weil x [mm] \in [/mm] C [mm] \cap [/mm] D ist,
ist x [mm] \in [/mm] C und x [mm] \in [/mm] D.
Somit ist y [mm] \in f^{-1}(C) [/mm] und y [mm] \in f^{-1}(D).
[/mm]
Folglich ist y [mm] \in f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)
[/mm]
[mm] f^{-1}(C \cap [/mm] D) [mm] \subseteq f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)
[/mm]
Ich weiß, dass ich jetzt noch zeigen muss, dass
[mm] f^{-1}(C \cap [/mm] D) [mm] \supseteq f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)
[/mm]
gilt.
Aber wie geht das?
Der Anfang dürfte ja derselbe sein:
sei z [mm] \in f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)
[/mm]
dann gibt es ein j [mm] \in [/mm] ?????
Wie gehts hier weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Do 18.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> f: M -> N
> A,B [mm]\subset[/mm] M
> A',B' [mm]\subset[/mm] N
> Beweisen Sie
> [mm]b)f^{-1}(A' \cap[/mm] B')=f(A') [mm]\cap[/mm] f(B')
> A'=C
> B'=D
> (einfach weil die Striche doof sind ;) )
>
> sei y [mm]\in f^{-1}(C \cap[/mm] D)
> dann gibt es ein x [mm]\in[/mm] C [mm]\cap[/mm] D mit [mm]f^{-1}(x)=y[/mm]
Hier geht die Sache schon in die Hose !!
1. f muss keine Umkehrfunktion haben !!
2. Dir scheint nicht klar zu sein, wie für eine Teilmenge C von N die Menge [mm] f^{-1}(C) [/mm] definiert ist. Ich sags Dir:
[mm] f^{-1}(C)=\{x \in M: f(x) \in C\}.
[/mm]
So, jetzt musst Du nochmal ran.
FRED
> Weil x [mm]\in[/mm] C [mm]\cap[/mm] D ist,
> ist x [mm]\in[/mm] C und x [mm]\in[/mm] D.
> Somit ist y [mm]\in f^{-1}(C)[/mm] und y [mm]\in f^{-1}(D).[/mm]
> Folglich
> ist y [mm]\in f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)[/mm]
>
> [mm]f^{-1}(C \cap[/mm] D) [mm]\subseteq f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)[/mm]
>
> Ich weiß, dass ich jetzt noch zeigen muss, dass
> [mm]f^{-1}(C \cap[/mm] D) [mm]\supseteq f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)[/mm]
>
> gilt.
>
> Aber wie geht das?
>
> Der Anfang dürfte ja derselbe sein:
>
> sei z [mm]\in f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)[/mm]
> dann gibt es ein j [mm]\in[/mm]
> ?????
>
> Wie gehts hier weiter?
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[mm] f^{-1}(C)=\{x \in M: f(x) \in C \}
[/mm]
[mm] f^{-1}(D )=\{x \in M: f(x) \in D \}
[/mm]
[mm] f^{-1}(C \cap D)=\{x \in M: f(x) \in C \cap D \}
[/mm]
Alle x aus M für die gilt: Bild(x) ist in C und D.(Kommentar)
Das folgende ist glaube ich falsch:
[mm] f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)=\{x \in M: f(x) \in C \cap f(x) \in D \}
[/mm]
Alle x aus M für die gilt: Bild(x) ist in C und Bild(x) ist in D.(Kommentar)
bis hierhin ok?
Wenn ja, dann brauch man ja nur einmal umformen und hats...
(habe mir derweil einen richtigen Beweis angeguckt, aber verstehe ihn nicht ganz)
Edit: ich glaube ich muss erst die Schnittmenge den obersten bilden oder?
Edit2:
[mm] f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)=\{x \in M: f(x) \in C \} \cap \{x \in M: f(x) \in D \}
[/mm]
[mm] =\{(x \in M: f(x) \in C) \cap (x \in M: f(x) \in D) \}
[/mm]
[mm] =\{(x \in M: (f(x) \in C) \cap (f(x) \in D) \}
[/mm]
[mm] =\{x \in M: f(x) \in C \cap D \}
[/mm]
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> [mm]f^{-1}(C)=\{x \in M: f(x) \in C \}[/mm]
> [mm]f^{-1}(D )=\{x \in M: f(x) \in D \}[/mm]
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> [mm]f^{-1}(C \cap D)=\{x \in M: f(x) \in C \red{\cap} D \}[/mm]
Hallo,
das rotmarkierte "geschnitten mit"-Zeichen ist hier fehl am Platze.
Es ist ein Zeichen, welches fürs Rumwerkeln mit Mengen zu verwenden ist.
Richtig wäre "und" zu schreiben, und falls Du Zeichen schick findest, dann halt [mm] "\wedge".
[/mm]
> Alle x
> aus M für die gilt: Bild(x) ist in C und D.(Kommentar)
> Edit2:
>
> [mm]f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)=\{x \in M: f(x) \in C \} \cap \{x \in M: f(x) \in D \}[/mm]
>
nächste Zeile streichen:
> [mm]=\{(x \in M: f(x) \in C) \cap (x \in M: f(x) \in D) \}[/mm]
>
> [mm]=\{(x \in M: (f(x) \in C) \red{\wedge} (f(x) \in D) \}[/mm]
> [mm]=\{x \in M: f(x) \in C \cap D \}[/mm]
[mm] =f^{-1}(C\cap [/mm] D).
Das ist richtig so.
Ich finde ja dieses Gewurschtel mit den Mengenumformungen grausam
und würde es immer bevorzugen, elementweise vorzugehen:
Sei [mm] x\in f^{-1}(C\cap [/mm] D)
<==>
[mm] f(x)\in C\cap [/mm] D
<==>
[mm] f(x)\in [/mm] C und [mm] f(x)\in [/mm] D
<==>
[mm] x\in f^{-1}(C) [/mm] und [mm] x\in f^{-1}(D)
[/mm]
<==>
[mm] x\in f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)
[/mm]
LG Angela
>
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Hey Angela,
vielen Dank. Die Element-Angehensweise sieht tatsächlich besser und einfacher aus.
Es ging mir ja wirklich nur darum es zu verstehen, daher verzeih meine Höckschen auf Stöcksen Methode :D
Kann man sich also als Merksatz notieren: "will man eine Gleichheit (von Mengen) belegen, so formt man (die eine Menge) um"
Das mit dem [mm] \wedge [/mm] und [mm] \cap [/mm] habe ich nicht so ganz verstanden.
x [mm] \in [/mm] C [mm] \cap [/mm] D
drückt doch das selbe aus wie
x [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] D
oder müsste das untere richtig lauten: x [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] D und kann erst in dieser Form umgeformt werden?
Oder anders gefragt, bin ich immer richtig, wenn, sobald es um ein Element geht, ich nur das [mm] \wedge [/mm] benutze, und anstatt das [mm] \cap [/mm] eine Obermenge der beiden benutze.
z.B.:
K:=C [mm] \cap [/mm] D
x [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] D [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] K
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Fr 19.02.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo sinnlos123!
> Kann man sich also als Merksatz notieren: "will man eine
> Gleichheit (von Mengen) belegen, so formt man (die eine
> Menge) um"
Das verstehe ich nicht!
Seien [mm] $A\$ [/mm] und [mm] $B\$ [/mm] zwei Mengen. Wenn wir zeigen wollen, dass [mm] $A=B\$ [/mm] gilt, so zeigen wir
[mm] $A\subseteq [/mm] B$ und [mm] $B\subseteq [/mm] A$,
also (äquivalent)
[mm] $x\in A\Rightarrow x\in [/mm] B$ und [mm] $x\in B\Rightarrow x\in [/mm] A$.
(Für den Beweis der Aussage [mm] $A\subseteq [/mm] B$ gehen wir also wie folgt vor:
Wir betrachten ein beliebiges vorgegebenes Element [mm] $x\in [/mm] A$ und zeigen, dass [mm] $x\in [/mm] B$ folgt.
Da [mm] $x\in [/mm] A$ beliebig vorgegeben war, gilt somit [mm] $x\in [/mm] B$ für alle [mm] $x\in [/mm] A$ und damit [mm] $A\subseteq [/mm] B$.
(Analog zeigen wir [mm] $B\subseteq [/mm] A$.))
> Das mit dem [mm]\wedge[/mm] und [mm]\cap[/mm] habe ich nicht so ganz verstanden.
> x [mm]\in[/mm] C [mm]\cap[/mm] D
> drückt doch das selbe aus wie
> x [mm]\in[/mm] C [mm]\wedge[/mm] D
Nein.
[mm] $C\cap [/mm] D$ ist eine Menge. Also ist [mm] $x\in C\cap [/mm] D$ richtig.
[mm] $C\wedge [/mm] D$ ist keine Menge. Also ist [mm] $x\in C\wedge [/mm] D$ falsch.
Aber: Nach Definition einer Schnittmenge gilt
[mm] $x\in C\cap D\Longleftrightarrow x\in C\wedge x\in [/mm] D$.
(Dabei kann man [mm] "$\wedge$" [/mm] auch sprachlich durch "und" ersetzen.)
Mach dir das am Besten an einem Venn-Diagramm klar.
> oder müsste das untere richtig lauten: x [mm]\in[/mm] C [mm]\wedge[/mm] x
> [mm]\in[/mm] D und kann erst in dieser Form umgeformt werden?
Ja.
> Oder anders gefragt, bin ich immer richtig, wenn, sobald es
> um ein Element geht, ich nur das [mm]\wedge[/mm] benutze, und
> anstatt das [mm]\cap[/mm] eine Obermenge der beiden benutze.
Das verstehe ich nicht!
> z.B.:
> K:=C [mm]\cap[/mm] D
> x [mm]\in[/mm] C [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] D [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] K
Ja.
Gruß
DieAcht
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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Es gibt M, N und f: M -> N, so dass [mm] f(f^{-1}(N)) \not= [/mm] N |
Sei [mm] M=\emptyset
[/mm]
Sei N={1}
dann ist [mm] f^{-1}(N)=\emptyset=C
[/mm]
dann ist [mm] f(C)=\emptyset\not= [/mm] N
stimmt das so?
Wenn nicht, bitte nicht lösen, das war nur mein Einfall und wollte wissen ob das ok ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:02 Di 23.02.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie: Es gibt M, N und f: M -> N, so dass
> [mm]f(f^{-1}(N)) \not=[/mm] N
> Sei [mm]M=\emptyset[/mm]
> Sei N={1}
> dann ist [mm]f^{-1}(N)=\emptyset=C[/mm]
> dann ist [mm]f(C)=\emptyset\not=[/mm] N
>
> stimmt das so?
> Wenn nicht, bitte nicht lösen, das war nur mein Einfall
> und wollte wissen ob das ok ist.
ich muss das einmal selbst überdenken: also
$f [mm] \colon \varnothing=:M \to \{1\}=:N\,.$
[/mm]
Es ist
[mm] $f^{-1}(N)=f^{-1}(\{1\})=\varnothing$,
[/mm]
denn andernfalls gäbe es ja ein $m [mm] \in M=\varnothing$ [/mm] mit $f(m) [mm] \in N=\{1\}\,,$ [/mm] anders
gesagt mit [mm] $f(m)=1\,.$
[/mm]
Und [mm] $f(\varnothing)=\{f(x):\;\; x \in \varnothing\}=\{\}=\varnothing$ [/mm] ist klar.
Also
[mm] $f(f^{-1}(N))=f(\varnothing)=M=\varnothing \neq\{1\}=N$.
[/mm]
Fazit: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Passt (es sei denn, es ist so spät, dass ich irgendwas übersehe; vielleicht
guckt einfach ein noch wachsam[er]es Auge auch nochmal drüber!)
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
P.S. Mit gefällt einfach das Symbol [mm] $\varnothing$ [/mm] besser als [mm] $\emptyset$ [/mm] für die
leere Menge [mm] $\{\}$ [/mm] ;)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:09 Di 23.02.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ergänzend übrigens:
Deine Funktion ist NICHT surjektiv! 
Gruß und jetzt wirklich [gute Nacht],
Marcel
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> Zeigen Sie: Es gibt M, N und f: M -> N, so dass
> [mm]f(f^{-1}(N)) \not=[/mm] N
[...]
das war nur mein Einfall
> und wollte wissen ob das ok ist.
Hallo,.
wie Marcel schon sagt, funktioniert das so, wie Du's gemacht hast.
Allerdings empfinde ich Deine Funktion als etwas pathologisch...
Die Aussage stimmt aber auch bei weniger "seltsamen" Funktionen,
und ich fände es wertvoll, wenn Du sie Dir mal an einer "normaleren" Funktion klarmachen würdest - einen entscheidenden Hinweis gibt Marcel in seiner Mitteilung.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:24 Di 23.02.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> > Zeigen Sie: Es gibt M, N und f: M -> N, so dass
> > [mm]f(f^{-1}(N)) \not=[/mm] N
> [...]
> das war nur mein Einfall
> > und wollte wissen ob das ok ist.
>
> Hallo,.
>
> wie Marcel schon sagt, funktioniert das so, wie Du's
> gemacht hast.
> Allerdings empfinde ich Deine Funktion als etwas
> pathologisch...
>
> Die Aussage stimmt aber auch bei weniger "seltsamen"
> Funktionen,
> und ich fände es wertvoll, wenn Du sie Dir mal an einer
> "normaleren" Funktion klarmachen würdest - einen
> entscheidenden Hinweis gibt Marcel in seiner Mitteilung.
man kann den Hinweis sogar noch schöner verdeutlichen; wobei ich jetzt,
um mir keine großartigen Gedanken zu machen, annehme, dass M und N
beide nicht leer sind (für bpsw. $M [mm] \not= \varnothing$ [/mm] und [mm] $N=\varnothing$ [/mm] gibt es ja gar keine
Funktion $f [mm] \colon [/mm] M [mm] \to N=\varnothing$):
[/mm]
Genau dann gilt
[mm] $f(f^{-1}(N))=N$,
[/mm]
wenn [mm] $f\,$ [/mm] ... ist.
(Für interessierte: Das passende Wort in ... ergänzen und die Aussage beweisen!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Di 23.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Angela,
>
> > > Zeigen Sie: Es gibt M, N und f: M -> N, so dass
> > > [mm]f(f^{-1}(N)) \not=[/mm] N
> > [...]
> > das war nur mein Einfall
> > > und wollte wissen ob das ok ist.
> >
> > Hallo,.
> >
> > wie Marcel schon sagt, funktioniert das so, wie Du's
> > gemacht hast.
> > Allerdings empfinde ich Deine Funktion als etwas
> > pathologisch...
> >
> > Die Aussage stimmt aber auch bei weniger "seltsamen"
> > Funktionen,
> > und ich fände es wertvoll, wenn Du sie Dir mal an einer
> > "normaleren" Funktion klarmachen würdest - einen
> > entscheidenden Hinweis gibt Marcel in seiner Mitteilung.
>
> man kann den Hinweis sogar noch schöner verdeutlichen;
> wobei ich jetzt,
> um mir keine großartigen Gedanken zu machen, annehme,
> dass M und N
> beide nicht leer sind (für bpsw. [mm]M \not= \varnothing[/mm] und
> [mm]N=\varnothing[/mm] gibt es ja gar keine
> Funktion [mm]f \colon M \to N=\varnothing[/mm]):
>
> Genau dann gilt
>
> [mm]f(f^{-1}(N))=N[/mm],
>
> wenn [mm]f\,[/mm] ... ist.
> (Für interessierte: Das passende Wort in ... ergänzen
> und die Aussage beweisen!)
Hallo Marcel,
gibts da wirklich etwas zu beweisen ? Man benötigt doch nur 2 Definitionen:
1. die von [mm] f^{-1}(N)
[/mm]
und
2. die von .....
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Di 23.02.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo Angela,
> >
> > > > Zeigen Sie: Es gibt M, N und f: M -> N, so dass
> > > > [mm]f(f^{-1}(N)) \not=[/mm] N
> > > [...]
> > > das war nur mein Einfall
> > > > und wollte wissen ob das ok ist.
> > >
> > > Hallo,.
> > >
> > > wie Marcel schon sagt, funktioniert das so, wie Du's
> > > gemacht hast.
> > > Allerdings empfinde ich Deine Funktion als etwas
> > > pathologisch...
> > >
> > > Die Aussage stimmt aber auch bei weniger "seltsamen"
> > > Funktionen,
> > > und ich fände es wertvoll, wenn Du sie Dir mal an einer
> > > "normaleren" Funktion klarmachen würdest - einen
> > > entscheidenden Hinweis gibt Marcel in seiner Mitteilung.
> >
> > man kann den Hinweis sogar noch schöner verdeutlichen;
> > wobei ich jetzt,
> > um mir keine großartigen Gedanken zu machen, annehme,
> > dass M und N
> > beide nicht leer sind (für bpsw. [mm]M \not= \varnothing[/mm] und
> > [mm]N=\varnothing[/mm] gibt es ja gar keine
> > Funktion [mm]f \colon M \to N=\varnothing[/mm]):
> >
> > Genau dann gilt
> >
> > [mm]f(f^{-1}(N))=N[/mm],
> >
> > wenn [mm]f\,[/mm] ... ist.
> > (Für interessierte: Das passende Wort in ... ergänzen
> > und die Aussage beweisen!)
>
> Hallo Marcel,
>
> gibts da wirklich etwas zu beweisen ?
nicht viel.
> Man benötigt doch nur 2 Definitionen:
>
> 1. die von [mm]f^{-1}(N)[/mm]
>
> und
>
> 2. die von .....
ja. Wenn man ... [mm] $\gdw$ $f(M)=N\,$ [/mm] weiß, ist es quasi so offensichtlich, dass man
"Beweis durch genaues hingucken" sagen kann.
Gruß,
Marcel
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Ok, ich habe es mir klar gemacht:
$ [mm] f(f^{-1}(N)) \not= [/mm] $ N heißt nichts anderes, als dass es zu mindestens einem [mm] n\in [/mm] N kein Urbild gibt.
Zum Beispiel wäre:
f(x)=1
eine "pathologische" Funktion, die das erfüllt.
Aber auch Funktionen mit "Lücken" oder?
also z.b.
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x \mbox{ größer 0} \\ -x^{2}, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner -2} \end{cases}
[/mm]
Oder eben
[mm] f(x)=e^{x}
[/mm]
Das Wort für sowas wurde ja schon erwähnt
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> Ok, ich habe es mir klar gemacht:
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> [mm]f(f^{-1}(N)) \not=[/mm] N heißt nichts anderes, als dass es zu
> mindestens einem [mm]n\in[/mm] N kein Urbild gibt.
>
> Zum Beispiel wäre:
> f(x)=1
> eine "pathologische" Funktion, die das erfüllt.
Hallo,
ein Gespräch über die Funktion f ohne vorher anzugeben, was der Definitions- und Wertebereich ist, ist sinnlos.
Für [mm] f:\{1,2,3\}\to\{1\} [/mm] mit
f(x):=1 für alle [mm] x\in \{1,2,3\} [/mm] gilt die Aussage,
denn es ist [mm] f(f^{-1}(\{1\})=f(\{1,2,3\}=\{1\}.
[/mm]
Für [mm] f:\{1,2,3\}\to\{1, 2\} [/mm] mit
f(x):=1 für alle [mm] x\in \{1,2,3\} [/mm] gilt die Aussage nicht,
denn es ist [mm] f(f^{-1}(\{1,2\})=f(\{1,2,3\}=\{1\}\not=\{1,2\}.
[/mm]
LG Angela
> Aber auch Funktionen mit "Lücken" oder?
> also z.b.
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x \mbox{ größer 0} \\ -x^{2}, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner -2} \end{cases}[/mm]
>
> Oder eben
> [mm]f(x)=e^{x}[/mm]
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> Das Wort für sowas wurde ja schon erwähnt
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