f bzgl. Zählmaß integrierbar < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:55 Fr 30.10.2009 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | | Es sei [mm] (\IN, \mathcal{P}, \mu) [/mm] der Maßraum mit dem Zählmaß [mm] \mu. [/mm] Beweisen Sie: Eine Funktion f: [mm] \IN \to \IR [/mm] ist bzgl. des Zählmaßes [mm] \mu [/mm] integrierbar genau dann wenn die unendliche Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f(n) [/mm] absolut konvergiert. In diesem Fall gilt [mm] \integral_{}^{}{f d\mu} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f(n). [/mm] |
Hi,
also ich arbeite gerade an dieser Aufgabe und habe mir bisher folgendes dazu überlegt:
f ist eine messbare Funktion, also gilt [mm] f=f^{+}-f^{-} \Rightarrow \integral_{}^{}{f d\mu}:= \integral_{}^{}{f^{+} d\mu}-\integral_{}^{}{f^{-} d\mu}
[/mm]
Dann muss ich glaube ich als nächstes zeigen, dass [mm] \integral_{\IN}^{}{f d\mu} [/mm] = [mm] \integral_{\bigcup_{n \in \IN}^{}}^{}{f d\mu}, [/mm] also darstellbar als Vereinigung disjunkter Teilmengen, hier weiss ich aber nicht wie.
Wenn man sie so darstellen kann, dann gilt doch, dass [mm] \integral_{}^{}{f^{+}}, \integral_{}^{}{f^{-}} [/mm] endlich sind [mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \in L^{1}(\IN) [/mm] (Lebesgue-integrierbar).
Nun gilt: Ist f [mm] \in L^1(\IN), \IN [/mm] messbar und darstellbar als Vereinigung disjunkter Teilmengen, dann gilt: [mm] \integral_{\IN}^{}{f d\mu} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{\infty}\integral_{N_j}^{}{f d\mu}, [/mm] wobei [mm] N_j [/mm] paarweise disjunkt.
Jetzt würde ich weitermachen mit [mm] f\ge0 [/mm] messbar [mm] \gdw [/mm] es gibt Folge f(n) einfacher messbarer Funktionen mit f(n) [mm] \ge [/mm] 0 und f(n) [mm] \rightarrow [/mm] f.
Jetzt müsste ich ja zeigen, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f(n) [/mm] absolut konvergiert, hier weiss ich aber nicht wie...
Daraus würde dann Behauptung folgen.
Danke schonmal,
Hanz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 So 01.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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