f[det(A), det(B)]=det(A+B) < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es keine Funktion gibt, die aus den Determinanten der Matrizen A und B die Determinante von (A+B) berechnen kann. |
Hier fehlt mir ein praktikabler Ansatz. Wie beweise ich so etwas?
lg
E.-Oe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:45 Di 12.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Was sollte f(0,0) sein? Einerseits muss ja [mm] $f(0,0)=f(\det [/mm] 0, [mm] \det 0)=\det [/mm] (0+0)=0$ sein, aber andererseits gibt es für [mm] $1<\operatorname{dim} V<\infty$ [/mm] ja stets Matrizen A,B mit [mm] $\det A=\det [/mm] B=0$ und [mm] $\det(A+B)\ne [/mm] 0$, zum Beispiel?
Gruß, Robert
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Zum Beispiel
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] und
[mm] B=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Meintest du das?
Nur: wie kann ich zeigen, dass das kein Spezialfall ist, bzw. dass es nicht endlich viele Spezialfälle gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:21 Di 12.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zum Beispiel
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] und
> [mm]B=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Meintest du das?
ja, sowas meinte er, jedenfalls z.B. für $A,B [mm] \in \IK^{2 \times 2}\,.$
[/mm]
> Nur: wie kann ich zeigen, dass das kein Spezialfall ist,
> bzw. dass es nicht endlich viele Spezialfälle gibt?
Also: Du nimmst nun an, dass es eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] geben würde, die die gewünschten Eigenschaften hat, und zeigst dann, dass das doch nicht sein kann (woraus folgt, dass die Annahme, dass es eine solche Funktion [mm] $f\,$ [/mm] gibt, verworfen werden muss):
Wenn behauptet wird, dass [mm] $f(\det(A), \det(B))=\det(A+B)$ [/mm] für alle Matrizen $A,B$ gelten würde, so ist die Verneinung dieser Aussage,
dass es Matrizen $A,B$ so gibt, dass [mm] $f(\det(A), \det(B)) \not= \det(A+B)$ [/mm] ist.
Die blaue Aussage gilt es nun zu beweisen:
Dazu kannst hier so argumentieren:
Sei [mm] $V\not=\{0\}$ [/mm] und [mm] $V\,$ [/mm] habe Dimension $n [mm] \ge 2\,,$ [/mm] $n [mm] \in \IN\,$ [/mm] fest. Wähle eine Basis [mm] $\mathcal{B}:=(v_1,\,\ldots,\,v_n)\,.$ [/mm] (Wieso geht das?)
Setze [mm] $A:=(v_1,\,\ldots,\,v_{n-1},0)$ [/mm] und [mm] $B=(0,\,\ldots,\,0,\,v_n)\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $\det(A)=\det(B)=0\,,$ [/mm] (Warum? Siehe notfalls auch nochmal ![[]](/images/popup.gif) hier)
und es ist [mm] $\det(A+B)=\det(\mathcal{B}) \not=0\,.$
[/mm]
Was folgt somit für [mm] $f(\det(A),\det(B))$ [/mm] im Vergleich mit [mm] $\det(A+B)=det(\mathcal{B})$?
[/mm]
[mm] $\text{(}$ [/mm] Beachte dabei nochmals, dass für [mm] $\mathcal{O}=(0,\,\ldots,\,0) \in V^n$ [/mm] (mit der $0 [mm] \in [/mm] V$) hier
[mm] $$f(det(\mathcal{O}),\det(\mathcal{O}))=f(\blue{0},\blue{0})=det(\mathcal{O}+\mathcal{O})=\det(\mathcal{O})=\blue{0}$$ [/mm] (mit [mm] $\blue{0} \in \IK$)
[/mm]
und somit [mm] $f(\blue{0},\blue{0})=\blue{0}$ [/mm] gelten muss, und daher oben auch [mm] $$f(\det(A),\det(B))=\blue{0}$$ [/mm] gelten müsste. [mm] $\text{)}$
[/mm]
P.S.:
Im Falle, dass [mm] $V\,$ [/mm] eindimensional ist, klappt obige Argmumentation nicht. Hier gilt für [mm] $A=(a)\,$ [/mm] und [mm] $B=(b)\,$ [/mm] mit $a,b [mm] \in [/mm] V$ dann wegen der Multilinearität in jeder Spalte (hier gibt es ja jeweils nur eine Spalte)
[mm] $$\det((a)+(b))=\det((a))+\det((b))\,.$$
[/mm]
Im Fall, dass [mm] $V\,$ [/mm] eindimensional ist, kann man also durchaus solch ein [mm] $f\,$ [/mm] finden, indem man
[mm] $$f(\det((a)),\det((b))):=\det((a))+\det((b))$$
[/mm]
definiert.
Gruß,
Marcel
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