f konjugiert komplex reell < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Man zeige:
a) $\overline{f}$ komplex differenzierbar in c $\gdw$ f reell differenzierbar in c und $f_{z}(c)=0$
b) $\overline{f}$ komplex differenzierbar in $c \Rightarrow \overline{f}'(c) = \overline{f_{\overline{z}}(c))}$ |
Hallo,
a) $\overline{f}$ komplex differenzierbar in c, damit ist $\overline{f}$ in c auch reell differenzierbar.
Behauptung: eine Funktion f ist genau dann reell differenzierbar, wenn u und v reell differenzierbar sind . (also ist die reelle differenzierbarkeit unabhängig von i)
Beweis: sei $\overline{f} =: g$ , also ist g reell differenzierbar. Für g=(u+iv) folgt nun, dass auch $u= \frac{1}{2}(g+\overline{g}$ und $v = \frac{1}{2i}(g-\overline{g})$ reell differenzierbar sein müssen, also auch die Summen von $g$ und $\overline{g}$ und damit $\overline{g}$ selber. Damit ist auch $\overline{g}=f$ in c reell differenzierbar.
Die CauRie Bedingungen werden erfüllt für $\overline{f}$. Es gilt : $\overline{f} = \overline{u+iv} = u-iv$ also gilt für die CauRie Bedingungen: $u_{x} = -v_{y}$ , $u_{y}=v_{x}$
Also folgt: $f_{z} = \frac{1}{2}(u_{x}+iv_{x})-\frac{i}{2}(u_{y}+iv_{y}) = \frac{1}{2}(u_{x}+iu_{y})-\frac{i}{2}(u_{y}-iu_{x}) = 0$
b) mit $f_{\overline{z}}=\frac{1}{2}f_{x} + \frac{i}{2}f_{y}$ und den CauRie Bedingungen: $u_{x}=-v_{y}; u_{y}=v_{x}$
folgt sofort: ${\overline{f}' = u_{x}-iv_{x} = \frac{1}{2}(u_{x}-iu_{y})-\frac{i}{2}(u_{y}+iu_{x})=\frac{1}{2}(u_{x}-iv_{x})-\frac{i}{2}(u_{y}-iv_{y})=\overline{\frac{1}{2}(u_{x}+iv_{x})+\frac{i}{2}(u_{y}+iv_{y})} = \overline{f_{\overline{z}} $
Reicht und stimmt das so?
Bin für jegliche Hilfe sehr dankbar!
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 12.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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