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Forum "Stetigkeit" - f(x,y) stetig im Ursprung
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f(x,y) stetig im Ursprung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:36 Fr 06.08.2010
Autor: ChopSuey

Aufgabe
Sei $ [mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] $ mit $ f(x,y) := [mm] xy*\frac{x^2y}{x^4+y^2} [/mm] $ für $ (x,y) [mm] \not= [/mm] 0 $ und $ f(x,y) = 0 $ für $ (x,y) = 0 $

Hallo,

ich möchte zeigen, dass $ f $ im Ursprung nicht stetig ist.

Dazu wollte ich mir eine Nullfolge [mm] $(x_n, y_n) \in \IR^2 [/mm] $ konstruieren, für die $ f $ nicht gegen $ 0 $ konvergiert.

Allerdings musste ich feststellen, dass das garnicht so einfach ist. Zumindest fiel mir bisher nichts schlaues ein. Ich bin mir auch garnicht so sicher, ob das überhaupt klappt. Nach den Grenzwertsätzen folgt unmittelbar dass $ [mm] f(x_n,y_n) \to [/mm] 0 $. Oder überseh ich hier etwas?

Abschätzen ließ sich auch nichts, da $ x,y [mm] \in \IR [/mm] $.

Hätte jemand einen hilfreichen Tipp zu den Folgen oder eine Idee, wie ich das alternativ zeigen kann?

Freue mich über jede Hilfe.
Vielen Dank

Grüße
ChopSuey

        
Bezug
f(x,y) stetig im Ursprung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:40 Fr 06.08.2010
Autor: felixf

Moin!

> Sei [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y) := xy*\frac{x^2y}{x^4+y^2}[/mm]
> für [mm](x,y) \not= 0[/mm] und [mm]f(x,y) = 0[/mm] für [mm](x,y) = 0[/mm]
>  
> ich möchte zeigen, dass [mm]f[/mm] im Ursprung nicht stetig ist.
>  
> Dazu wollte ich mir eine Nullfolge [mm](x_n, y_n) \in \IR^2[/mm]
> konstruieren, für die [mm]f[/mm] nicht gegen [mm]0[/mm] konvergiert.
>  
> Allerdings musste ich feststellen, dass das garnicht so
> einfach ist. Zumindest fiel mir bisher nichts schlaues ein.
> Ich bin mir auch garnicht so sicher, ob das überhaupt
> klappt. Nach den Grenzwertsätzen folgt unmittelbar dass
> [mm]f(x_n,y_n) \to 0 [/mm]. Oder überseh ich hier etwas?

Es ist doch $f(x, y)  = [mm] \frac{x^3}{x^4/y^2 + 1}$. [/mm]

Setze $x = t$, $y = [mm] t^\alpha$ [/mm] mit [mm] $\alpha [/mm] > 0$. Dann hast du $f(x, y) = [mm] \frac{t^3}{t^{4 - 2 \alpha} + 1}$. [/mm]

Waehle [mm] $\alpha$ [/mm] jetzt so, dass $4 - 2 [mm] \alpha [/mm] < 0$ ist, und berechne den Grenzwert fuer $t [mm] \to [/mm] 0$ mit L'Hospital. Dann kannst du [mm] $\alpha$ [/mm] so waehlen, dass der Grenzwert [mm] $\infty$ [/mm] ist.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
f(x,y) stetig im Ursprung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:32 Fr 06.08.2010
Autor: ChopSuey

Moin Felix,

vielen Dank für Deine Tipps! Darauf muss man erstmal kommen.

Gäbe es einen alternativen Lösungsweg?

Viele Grüße
ChopSuey

Bezug
                        
Bezug
f(x,y) stetig im Ursprung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:48 Fr 06.08.2010
Autor: fred97


> Moin Felix,
>  
> vielen Dank für Deine Tipps! Darauf muss man erstmal
> kommen.
>
> Gäbe es einen alternativen Lösungsweg?

Siehe

              https://matheraum.de/read?i=705407

FRED

>
> Viele Grüße
>  ChopSuey


Bezug
                
Bezug
f(x,y) stetig im Ursprung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:47 Fr 06.08.2010
Autor: fred97


> Moin!
>  
> > Sei [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y) := xy*\frac{x^2y}{x^4+y^2}[/mm]
> > für [mm](x,y) \not= 0[/mm] und [mm]f(x,y) = 0[/mm] für [mm](x,y) = 0[/mm]
>  >  
> > ich möchte zeigen, dass [mm]f[/mm] im Ursprung nicht stetig ist.
>  >  
> > Dazu wollte ich mir eine Nullfolge [mm](x_n, y_n) \in \IR^2[/mm]
> > konstruieren, für die [mm]f[/mm] nicht gegen [mm]0[/mm] konvergiert.
>  >  
> > Allerdings musste ich feststellen, dass das garnicht so
> > einfach ist. Zumindest fiel mir bisher nichts schlaues ein.
> > Ich bin mir auch garnicht so sicher, ob das überhaupt
> > klappt. Nach den Grenzwertsätzen folgt unmittelbar dass
> > [mm]f(x_n,y_n) \to 0 [/mm]. Oder überseh ich hier etwas?
>  
> Es ist doch [mm]f(x, y) = \frac{x^3}{x^4/y^2 + 1}[/mm].
>  
> Setze [mm]x = t[/mm], [mm]y = t^\alpha[/mm] mit [mm]\alpha > 0[/mm]. Dann hast du [mm]f(x, y) = \frac{t^3}{t^{4 - 2 \alpha} + 1}[/mm].
>  
> Waehle [mm]\alpha[/mm] jetzt so, dass [mm]4 - 2 \alpha < 0[/mm] ist, und
> berechne den Grenzwert fuer [mm]t \to 0[/mm] mit L'Hospital. Dann
> kannst du [mm]\alpha[/mm] so waehlen, dass der Grenzwert [mm]\infty[/mm]
> ist.


Hallo Felix,

das stimmt aber nicht, denn:

                

            $ |f(x,y)| [mm] \le |x|^3 [/mm] $  für alle (x,y) $ [mm] \in \IR^2 [/mm] $


Gruß FRED

>  
> LG Felix
>  


Bezug
                        
Bezug
f(x,y) stetig im Ursprung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:50 Fr 06.08.2010
Autor: felixf

Moin Fred,

> > Es ist doch [mm]f(x, y) = \frac{x^3}{x^4/y^2 + 1}[/mm].
>  >  
> > Setze [mm]x = t[/mm], [mm]y = t^\alpha[/mm] mit [mm]\alpha > 0[/mm]. Dann hast du [mm]f(x, y) = \frac{t^3}{t^{4 - 2 \alpha} + 1}[/mm].
>  
> >  

> > Waehle [mm]\alpha[/mm] jetzt so, dass [mm]4 - 2 \alpha < 0[/mm] ist, und
> > berechne den Grenzwert fuer [mm]t \to 0[/mm] mit L'Hospital. Dann
> > kannst du [mm]\alpha[/mm] so waehlen, dass der Grenzwert [mm]\infty[/mm]
> > ist.
>  
>
> Hallo Felix,
>  
> das stimmt aber nicht, denn:

ja, das ist mir auch aufgefallen, nachdem ich deine Antwort gesehen hab. Ich hab mich offenbar beim L'Hospital anwenden verrechnet...

LG Felix


Bezug
        
Bezug
f(x,y) stetig im Ursprung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:37 Fr 06.08.2010
Autor: fred97


> Sei [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y) := xy*\frac{x^2y}{x^4+y^2}[/mm]
> für [mm](x,y) \not= 0[/mm] und [mm]f(x,y) = 0[/mm] für [mm](x,y) = 0[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich möchte zeigen, dass [mm]f[/mm] im Ursprung nicht stetig ist.


Das wird Dir nicht gelingen ! Denn:

            $|f(x,y)| [mm] \le |x|^3$ [/mm]  für alle (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm]


FRED

>  
> Dazu wollte ich mir eine Nullfolge [mm](x_n, y_n) \in \IR^2[/mm]
> konstruieren, für die [mm]f[/mm] nicht gegen [mm]0[/mm] konvergiert.
>  
> Allerdings musste ich feststellen, dass das garnicht so
> einfach ist. Zumindest fiel mir bisher nichts schlaues ein.
> Ich bin mir auch garnicht so sicher, ob das überhaupt
> klappt. Nach den Grenzwertsätzen folgt unmittelbar dass
> [mm]f(x_n,y_n) \to 0 [/mm]. Oder überseh ich hier etwas?
>  
> Abschätzen ließ sich auch nichts, da [mm]x,y \in \IR [/mm].
>  
> Hätte jemand einen hilfreichen Tipp zu den Folgen oder
> eine Idee, wie ich das alternativ zeigen kann?
>  
> Freue mich über jede Hilfe.
>  Vielen Dank
>  
> Grüße
>  ChopSuey


Bezug
                
Bezug
f(x,y) stetig im Ursprung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Fr 06.08.2010
Autor: ChopSuey

Hallo Fred,

ich hab zu später Stunde versehentlich die falsche Funktion abgetippt.

Es ist $ f(x,y) = [mm] \frac{x^2y}{x^4+y^2} [/mm] $ für $  (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) $

Entschuldigt die Umstände. Das war ungeschickt.

Würde mich über weitere Tipps sehr freuen.

Grüße
ChopSuey

Bezug
                        
Bezug
f(x,y) stetig im Ursprung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 Fr 06.08.2010
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> ich hab zu später Stunde versehentlich die falsche
> Funktion abgetippt.
>
> Es ist [mm]f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}[/mm] für [mm](x,y) \not= (0,0)[/mm]
>  
> Entschuldigt die Umstände. Das war ungeschickt.
>  
> Würde mich über weitere Tipps sehr freuen.


Berechne mal [mm] $f(\wurzel{t},t)$ [/mm]  für t>0

FRED

>  
> Grüße
>  ChopSuey


Bezug
                                
Bezug
f(x,y) stetig im Ursprung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 Fr 06.08.2010
Autor: ChopSuey

Hallo,

> > Hallo Fred,
>  >  
> > ich hab zu später Stunde versehentlich die falsche
> > Funktion abgetippt.
> >
> > Es ist [mm]f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}[/mm] für [mm](x,y) \not= (0,0)[/mm]
>  
> >  

> > Entschuldigt die Umstände. Das war ungeschickt.
>  >  
> > Würde mich über weitere Tipps sehr freuen.
>  
>
> Berechne mal [mm]f(\wurzel{t},t)[/mm]  für t>0
>  

Ich erhalte $ [mm] f(\wurzel{t}, [/mm] t) = ... = 1 + [mm] \frac{1}{t^2} [/mm] $

Nun kann ich durch Wahl einer Nullfolge $ [mm] t_n \to [/mm] 0 $ (wie z.B. $ [mm] t_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] )$ zeigen, dass $ [mm] f(\wurzel{t}_n, t_n) [/mm] $ nicht konvergiert. Seh ich das richtig?

> FRED
>  >  
> > Grüße
>  >  ChopSuey
>  

Viele Grüße
ChopSuey

Bezug
                                        
Bezug
f(x,y) stetig im Ursprung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Fr 06.08.2010
Autor: schachuzipus

Hallo ChopSuey,

> Hallo,
>  
> > > Hallo Fred,
>  >  >  
> > > ich hab zu später Stunde versehentlich die falsche
> > > Funktion abgetippt.
> > >
> > > Es ist [mm]f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}[/mm] für [mm](x,y) \not= (0,0)[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Entschuldigt die Umstände. Das war ungeschickt.
>  >  >  
> > > Würde mich über weitere Tipps sehr freuen.
>  >  
> >
> > Berechne mal [mm]f(\wurzel{t},t)[/mm]  für t>0
>  >  
>
> Ich erhalte [mm]f(\wurzel{t}, t) = ... = 1 + \frac{1}{t^2}[/mm]

Nana, wie hast du denn gerechnet?

Das ergibt doch [mm] $\frac{(\sqrt{t})^2\cdot{}t}{(\sqrt{t})^4+t^2}=\frac{t^2}{2t^2}=\frac{1}{2} [/mm] \ [mm] \longrightarrow \frac{1}{2}\neq [/mm] 0=f((0,0))$ für [mm] $t\to [/mm] 0$

>  
> Nun kann ich durch Wahl einer Nullfolge [mm]t_n \to 0[/mm] (wie z.B.
> [mm]t_n = \frac{1}{n} )[/mm] zeigen, dass [mm]f(\wurzel{t}_n, t_n)[/mm] nicht
> konvergiert. Seh ich das richtig?

Ja, Freds Wahl entspricht doch genau der Folge [mm] $(x_n,y_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right)_{n\in\IN}$ [/mm]

Die strebt gegen $(0,0)$, aber [mm] $f((x_n,y_n))$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1}{2}\neq [/mm] 0=f((0,0))$ für [mm] $n\to\infty$ [/mm]

>  
> > FRED
>  >  >  
> > > Grüße
>  >  >  ChopSuey
> >  

>
> Viele Grüße
>  ChopSuey


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
f(x,y) stetig im Ursprung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 Fr 06.08.2010
Autor: ChopSuey

Hallo schachuzipus,

danke für die Hinweise.

War beim rechnen eben wohl ein wenig duselig. [aufgemerkt]

Ihr habt mir sehr geholfen.

Beste Grüße
ChopSuey

Bezug
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