f(x,y(x)) stetig diffbar < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
vielleicht kann mir jemand helfen. Ich habe eine Dgl. gegeben, und zwar:
y'(x) = f(x,y(x)).
Es gelte weiterhin, dass f stetig diff'bar ist. Nun steht in einem Buch, welches ich gerade lese, dass dann auch y'(x) stetig diff'bar ist (also y(x) 2-mal stetig diff'bar). Dies folgt mit Hilfe der Dgl. Anschaulich ist mir das sofort klar, nur wie beweise ich das?
Wie zeige ich, dass f(x,y(x)) (Fkt. einer reelen Variable) stetig diffbar ist, wenn f(x,y) (mit x,y unabhängige Variable) stetig diffbar ist. Das sieht sehr einfach aus, macht sich aber im Beweis sehr kompliziert. Gegeben ist übrigens noch, dass y(x) diff'bar ist (folgt aus dem Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf für diese Dgl.).
Vielleicht kann mir jemand helfen
Auf jeden Fall vielen Dank schonmal
Gruß
Cardmaker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:54 So 10.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Cardmaker!
Also, irgendwie verstehe ich dein Problem gerade nicht so wirklich... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Du willst doch zeigen, dass
$x [mm] \mapsto [/mm] y'(x) = f(x,y(x))$
stetig differenzierbar ist.
Von $f$ weißt du selbiges schon, also musst es es nur von $y$ zeigen (denn ist $y'$ als Kompositum stetig differenzierbarer Funktionen selbst stetig differenzierbar).
Da aber $f$ und $y$ stetig sind (denn $f$ ist stetig differenzierbar und $y$ differenzierbar), ist doch auch $y'$ als Kompositum stetiger Funktionen stetig. Wenn aber $y'$ stetig ist, dann ist $y$ stetig differenzierbar, und alles ist "gezeigt" (es war mehr ein bloßes Hinschreiben...).
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 So 10.04.2005 | | Autor: | Cardmaker |
Hallo Stefan,
danke für die schnelle Hilfe. Das war genau die Antwort, die ich gesucht habe. Da wäre ich aber im Leben nicht drauf gekommen. Also danke nochmal. Jetzt kann ich weiterlesen.
Vielen Dank nochmal
Gruß
Cardmaker
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