f(y*f(x))*f(x)=f(x+y) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Man ermittle alle auf der Menge der nichtnegativen reellen Zahlen definierten Funktionen f, die folgende Eigenschaften (i)–(iii) besitzen:
(i) Für alle nichtnegativen Zahlen x gilt f (x) ≥ 0.
(ii) Es gilt f (1) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] .
(iii) Für alle nichtnegativen Zahlen x und y gilt f(y*f(x))*f(x)=f(x + y). |
Hi, Leute!
Also, das ist eine Aufgabe aus einer vergangenen Matheolympiade, aber ich habe keine Ahnung, wie ich die Lösen soll. Habe versucht die Gleichung abzuleiten und zu integrieren um irgendetwas zu sehen, aber Vergebens. Und ausschließen kann ich auch ganz- & gebrochenrationale Funktionen und die anderen einfacheren Funktionen (ln, e, sin, cos, ...).
Ich habe aber keine Ahnung was es nun sein soll. Wisst ihr da weiter?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 Mi 26.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich wuerd mal mit y=2 x=1 anfangen dann kriegst du direkt f(3)
mit y=1, x=1 kriegst du f(1/2)=2*f(2)
mit f(3) dann f(7) und f(1/4)=4*f(4)
also spiel man mit den Zahlen rum vielleicht kommst du dann auf was, was man zeigen kann.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:34 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Oh verdammt, doch so einfach. Dass ich noch nie so eine Aufgabe gemacht habe, hat mich wohl etwas eingeschüchtert und ich habe nicht so etwas Einfaches einfach mal probiert...
Wie auch immer, vielen Dank, ich habe jetzt [mm] f(x)=\bruch{1}{x+1} [/mm] (für x [mm] \ge [/mm] 0) raus.
Das erfüllt auch die erstgenannte Gleichung f(y*f(x))*f(x)=f(x+y).
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:20 Mi 26.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Teufel!
> Oh verdammt, doch so einfach. Dass ich noch nie so eine
> Aufgabe gemacht habe, hat mich wohl etwas eingeschüchtert
> und ich habe nicht so etwas Einfaches einfach mal
> probiert...
> Wie auch immer, vielen Dank, ich habe jetzt
> [mm]f(x)=\bruch{1}{x+1}[/mm] (für x [mm]\ge[/mm] 0) raus.
Ohne mich jetzt mit der Aufgabe beschaeftigt zu haben (ausser diesen Thread zu lesen):
Mich wuerde interessieren, wie du gezeigt hast, dass es keine andere Funktion gibt. Dass die Funktion fuer rationale Werte so aussehen muss kann ich mir vorstellen (darauf kommt man vermutlich wenn man die Tricks von leduart oefter anwendet), aber wie kann man daraus auf alle anderen nicht-negativen reellen Zahlen schliessen? Stetigkeit ist ja nicht gegeben.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hm, das habe ich leider noch nicht zeigen können. Habe auch da leider keinen Ansatz.
Teufel
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