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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 10:21 Di 16.11.2004 | | Autor: | girlie0018 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseite gestellt.
Auf n Zellen sollen k Teilchen so verteilt werden, dass in der i-ten Zelle genau ki Teilchen liegen, wobei k1 + k2 + .... + kn = k sei. Wieviele verschiedene Verteilungen gibt es?
Auf n Zellen sollen k nicht unterscheidbare Teilchen so verteilt werden, dass jede Zelle höchstens ein Teilchen enthält. Wieviele verschiedene Verteilungen gibt es?
Auf n Zellen sollen k nicht unterscheidbare Teilchen beliebig verteilt werden. Wieviele verschiedene Verteilungen gibt es?
Wieviele k-Tupel(a1,a2,....,ak) paarweise verschiedener Zahlen a1, a2, ...., ak E {1,2,....,n} gibt es?
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Nunja, das sind ja jetzt drei bekannte Modelle aus der Physik.
Fall 1: Maxwell-Boltzmann
Fall 2: Fermi-Dirac
Fall 3: Bose-Einstein
Man kann sich nun die Räume überlegen:
[mm] (p_i [/mm] seien die Partikel, [mm] z_i [/mm] die Zellen)
Fall 1:
[mm] Omega = \{(z_1,...,z_n\} | \bigcup_{i=1}^{n}z_i = \{p_1,...,p_k\} ; |z_i| \in \{0,...,k\}; i=1,...,n \} [/mm]
Es gilt: [mm] |Omega| = n^k [/mm]
Fall 2:
[mm] Omega = \{(z_1,...,z_n)|z_i \in \{0,1\} ; i = 1,...,n ; \summe_{i=1}^{n} zi =k \} [/mm]
Es gilt: [mm] |Omega| = \vektor{n \\ k} [/mm]
Fall 3:
[mm] Omega = \{(z_1,...,z_n)|z_i \in \{0,..,k\} ; i = 1,...,n ; \summe_{i=1}^{n} zi = k\} [/mm]
Es gilt: [mm] |Omega| = \vektor{k+n-1 \\ k} [/mm]
Ich denke das sollte es sein, wenn wirklich nur Verteilungen gefragt sind.
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